Ensino Superior ⇒ Equação Diferencial de Segunda Ordem Tópico resolvido

[Calbf1]

Resolver a equação

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}+n^2y=k\sen pt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}+n^2y=k\sen pt[/tex3]

sendo [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

, [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

e [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

constantes.

([tex3]n\ne 0[/tex3]

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[tex3]n\ne 0[/tex3]

e [tex3]p^2\ne n^2[/tex3]

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[tex3]p^2\ne n^2[/tex3]

) sendo [tex3]t=0[/tex3]

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[tex3]t=0[/tex3]

, [tex3]y=\frac{dy}{dt}=0[/tex3]

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[tex3]y=\frac{dy}{dt}=0[/tex3]

Obrigado!

Carlos

[Vinisth]

Olá Calbf1,

Resolva a homogênea [tex3]y''+n^2y=0 \implies y=a_1 \sin\left(n \cdot t\right)+a_2\cos\left(n \cdot t\right)[/tex3]

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[tex3]y''+n^2y=0 \implies y=a_1 \sin\left(n \cdot t\right)+a_2\cos\left(n \cdot t\right)[/tex3]

Calculando o Wronskiano
[tex3]W=\begin{pmatrix}
\sin n\cdot t & \cos n\cdot t \\
n\cos n \cdot t & -n \sin n\cdot t \\
\end{pmatrix}=-n[/tex3]

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[tex3]W=\begin{pmatrix}
\sin n\cdot t & \cos n\cdot t \\
n\cos n \cdot t & -n \sin n\cdot t \\
\end{pmatrix}=-n[/tex3]

[tex3]v_1= -\int \frac{1}{W}u_1 g(t) dt=\frac{1}{n}\sin nt \cdot (k \cdot \sin pt) dt[/tex3]

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[tex3]v_1= -\int \frac{1}{W}u_1 g(t) dt=\frac{1}{n}\sin nt \cdot (k \cdot \sin pt) dt[/tex3]

[tex3]v_2= \int \frac{1}{W}u_1 g(t) dt=-\frac{1}{n}\cos nt \cdot (k \cdot \sin pt) dt[/tex3]

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[tex3]v_2= \int \frac{1}{W}u_1 g(t) dt=-\frac{1}{n}\cos nt \cdot (k \cdot \sin pt) dt[/tex3]

Essas integrais são fáceis, usando prostaférese. Solução geral

[tex3]y=a_1 \sin\left(n \cdot t\right)+a_2\cos\left(n \cdot t\right)+k\frac{\sin(kt)}{n^2-p^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=a_1 \sin\left(n \cdot t\right)+a_2\cos\left(n \cdot t\right)+k\frac{\sin(kt)}{n^2-p^2}[/tex3]

Sugiro que leia: Método Variação de parâmetros

Abração !