Ensino SuperiorCálculo de equações diferenciais de segunda ordem. Tópico resolvido

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Guferreira
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Mai 2018 30 12:25

Cálculo de equações diferenciais de segunda ordem.

Mensagem não lida por Guferreira »

Calcular a equação [tex3]6\frac{d^{2}y}{dx}+5\frac{dy}{dx}-6y=0[/tex3] , [tex3]\frac{dy}{dx}=-1[/tex3] , sendo as condições de contorno: [tex3]x=0[/tex3] e [tex3]y=5[/tex3] .




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fortran
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Mai 2018 30 14:35

Re: Cálculo de equações diferenciais de segunda ordem.

Mensagem não lida por fortran »

Acredito que com [tex3]\frac{dy}{dx}=-1[/tex3] você quis dizer o valor inicial de [tex3]y^{\prime}(0)=-1[/tex3] .

Bom, se tratando de uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea, usamos a função teste [tex3]y(x)=e^{\lambda x}[/tex3] . Logo:

[tex3]\Rightarrow 6\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}-6y=0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 6 \lambda ^{2}e^{\lambda x}+5 \lambda e^{\lambda x}-6e^{\lambda x}=0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow (6 \lambda ^{2} +5 \lambda -6)e^{\lambda x}=0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 6 \lambda ^{2} +5 \lambda -6=0[/tex3]

Que tem como soluções [tex3]\lambda _{1}=2/3[/tex3] e [tex3]\lambda _{2}=-3/2[/tex3] . Logo, a solução geral é uma combinação linear destas duas soluções:

[tex3]\Rightarrow y(x)=c_{1}e^{\frac{2}{3}x}+c_{2}e^{-\frac{3}{2}x}[/tex3]

E usando as condições:

[tex3]\begin{cases}
y(0)=5\\
y^{\prime}(0)=-1\\
\end{cases}[/tex3]

Você encontra [tex3]c_{1}=3[/tex3] e [tex3]c_{2}=2[/tex3] . Logo:

[tex3]\Rightarrow y(x)=3e^{\frac{2}{3}x}+2e^{-\frac{3}{2}x}[/tex3]

Última edição: fortran (Qua 30 Mai, 2018 14:37). Total de 1 vez.



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Shadowgal99
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Re: Cálculo de equações diferenciais de segunda ordem.

Mensagem não lida por Shadowgal99 »

Vc Também pode resolver por Laplace (que é um pouco mais demorado, mas traz a resposta direto)

Se vc ajeitar a equação, ela fica assim:

[tex3]6y"+5y'=6y[/tex3]

Com y(0)=5 e y'(0)=-1 você pode calcular Laplace sabendo que:

ℒ[tex3](y')= s[/tex3] ℒ[tex3](y)-y(0)[/tex3]

e, por consequência:

ℒ[tex3](y")=s[/tex3] [tex3]2[/tex3]ℒ[tex3](y)-sy(0)-y'(0)[/tex3]

Substituindo na equação fica:

ℒ[tex3](6y"+5y')=[/tex3] ℒ[tex3]6y[/tex3]

#regras da homogeneidade e da soma:

[tex3]6[/tex3] ℒ[tex3](y")+5[/tex3] ℒ[tex3](y')=6[/tex3] ℒ[tex3](y)[/tex3]

[tex3]6 [s[/tex3] [tex3]2[/tex3]ℒ[tex3](y)-5s-(-1)]+5 [s[/tex3] ℒ[tex3](y)-5]-6[/tex3] ℒ[tex3](y)=0[/tex3]

Juntando todos os 'ℒ's:

ℒ[tex3](y)[6s[/tex3] [tex3]2[/tex3][tex3]+5s-6]+[-5.6s+6.1-5.5]=0[/tex3]

ℒ[tex3](y)[6s[/tex3] [tex3]2[/tex3][tex3]+5s-6=30s+19[/tex3]

ℒ[tex3](y)=30s+19/[6s[/tex3] [tex3]2[/tex3][tex3]+5s-6][/tex3]

Agora fatorando o de baixo temos a seguinte expressão:

ℒ[tex3](y)=30s+19/(s-2/3)(s+3/2)[/tex3]

Teremos que achar A e B tais que:

[tex3]A/(s-2/3)+B/(s+3/2)=30s+19/(s-2/3)(s+3/2[/tex3]

Fazendo o #mmc no lado esquerdo da igualdade e analisando os numeradores temos:

[tex3]A(s+3/2)+B(s-2/3)=30s+19[/tex3]

Assim, se [tex3]s= 2/3:.[/tex3]

[tex3]A(2/3+3/2)+[/tex3] [tex3]B(2/3-2/3)[/tex3][tex3]=30(2/3)+19[/tex3]

[tex3](13/6)A=20+19[/tex3]

[tex3]A=39 (6/13)=>A=3.6=18[/tex3] .

Por outro lado: se [tex3]s=-3/2:.[/tex3]

[tex3]A (3/2-3/2)[/tex3][tex3]B[-(3/2+2/3)]=-30 (3/2)+19[/tex3]

[tex3]-13/6B = -45+19 =>-13/6B = -26[/tex3]

[tex3]B=12[/tex3] .

Agora teremos essa resposta:


ℒ[tex3](y)= 18[1/(s-2/3)]+12 [1/(s-(-3/2))][/tex3]

Para finalizar, temos que usar a laplace inversa:


ℒ[tex3](e[/tex3] [tex3]at[/tex3][tex3])=1/s-a[/tex3]

[tex3]y = 18e[/tex3] [tex3]2/3x[/tex3]
[tex3]+12e[/tex3] [tex3]-3/2x[/tex3]

E por fim: simplificando por 6 temos:

[tex3]y = 3e[/tex3] [tex3]2/3x[/tex3]
[tex3]+2e[/tex3] [tex3]-3/2x[/tex3]




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