Ensino Superior ⇒ Convergência de integral Tópico resolvido

[undefinied3]

Demonstre que a integral abaixo converge:

[tex3]\int_0^{\infty} \frac{x^2+3}{x^4+5x+6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^{\infty} \frac{x^2+3}{x^4+5x+6}[/tex3]

[fortran]

Acho que a maneira mais fácil de se fazer isso é por comparação... Procure uma função [tex3]g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)[/tex3]

que a integral converge neste intervalo e que seja válida a relação:

[tex3]\Rightarrow f(x) \le g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow f(x) \le g(x)[/tex3]

Em todo o intervalo de integração. Neste intervalo, uma função conhecida que converge é:

[tex3]\Rightarrow \int \limits_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow \int \limits_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2}[/tex3]

Mas só aquela função ali não "encobre" a função original em todo o intervalo. Multiplica ela por uma constante então, de forma que ela fica "acima" da função original, digamos 1000. Logo:

[tex3]\Rightarrow \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} \le \frac{1000}{x^{2}+1} \ \ ; \ \forall x \ge 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} \le \frac{1000}{x^{2}+1} \ \ ; \ \forall x \ge 0[/tex3]

(verifique)
[tex3]\Leftrightarrow \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} dx \ \le \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1000}{x^{2}+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} dx \ \le \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1000}{x^{2}+1}dx[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} dx \ \le 500 \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}+3}{x^{4}+5x+6} dx \ \le 500 \pi[/tex3]

Logo, se a integral é limitada superiormente por uma constante, ela não irá divergir. Portanto, a integral converge.

[undefinied3]

Tava tentando fazer isso mas tava tentando limitar por funções bem mais complicadas que não tavam ajudando muito. E também só tava olhando pro denominador por alguma razão.

Valeu