Ensino Superior ⇒ Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2018
27
16:02
Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Olá, bom dia.
Consideremos a função [tex3]\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex3]
Se tomarmos a função como f(x) e a derivarmos obtemos:
[tex3]\frac{-1}{2\sqrt{(x^{2}-1)}^3{}}[/tex3]
Se tomarmos a função como z(y) = [tex3]\frac{1}{y}[/tex3] , e y = [tex3]\sqrt{x^{2}-1}[/tex3] , e a derivarmos pela regra da cadeira, obtemos:
[tex3]\frac{-1}{2\sqrt{(x^{2}-1)}^3{}}[/tex3]
A mesma derivada que obtemos com f(x)
Mas se tomarmos z(y) = [tex3]\frac{1}{\sqrt{y}}[/tex3] e y = [tex3]x^{2}-1[/tex3] , e a derivarmos pela regra da cadeia, Obtemos:
[tex3]\frac{-x}{\sqrt{(x^{2}-1)^{3}}}[/tex3]
Qual a razão da diferença dos resultados?
Por que a regra do produto no segundo e no terceiro caso - eu suponho que os dois tem o passo-a-passo correto - resultam coisas diferente?
desde já, muito grato!
Consideremos a função [tex3]\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex3]
Se tomarmos a função como f(x) e a derivarmos obtemos:
[tex3]\frac{-1}{2\sqrt{(x^{2}-1)}^3{}}[/tex3]
Se tomarmos a função como z(y) = [tex3]\frac{1}{y}[/tex3] , e y = [tex3]\sqrt{x^{2}-1}[/tex3] , e a derivarmos pela regra da cadeira, obtemos:
[tex3]\frac{-1}{2\sqrt{(x^{2}-1)}^3{}}[/tex3]
A mesma derivada que obtemos com f(x)
Mas se tomarmos z(y) = [tex3]\frac{1}{\sqrt{y}}[/tex3] e y = [tex3]x^{2}-1[/tex3] , e a derivarmos pela regra da cadeia, Obtemos:
[tex3]\frac{-x}{\sqrt{(x^{2}-1)^{3}}}[/tex3]
Qual a razão da diferença dos resultados?
Por que a regra do produto no segundo e no terceiro caso - eu suponho que os dois tem o passo-a-passo correto - resultam coisas diferente?
desde já, muito grato!
Mai 2018
27
17:27
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Algo nos seus cálculos está errado... Todos os casos terminam na mesma coisa...
Por exemplo, se usarmos a regra de derivação: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3] , então:
[tex3]\Rightarrow f(x)=(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}[/tex3]
Logo, [tex3]u=x^{2}-1 \Rightarrow u^{\prime}=2x[/tex3] e [tex3]n=-\frac{1}{2}[/tex3] e portanto:
[tex3]\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{x}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}[/tex3]
Por exemplo, se usarmos a regra de derivação: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3] , então:
[tex3]\Rightarrow f(x)=(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}[/tex3]
Logo, [tex3]u=x^{2}-1 \Rightarrow u^{\prime}=2x[/tex3] e [tex3]n=-\frac{1}{2}[/tex3] e portanto:
[tex3]\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{x}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}[/tex3]
Mai 2018
27
21:51
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Seguem as contas nos dois primeiros casos. Me diga, por favor, em que passo estou errando
- Anexos
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- 2018-05-27-214954.jpg (62.81 KiB) Exibido 1651 vezes
Mai 2018
27
22:14
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Você está ignorando um termo...
Deverias fazer isso: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3]
E você faz isso: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1}[/tex3]
Deverias fazer isso: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3]
E você faz isso: [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1}[/tex3]
Mai 2018
27
22:22
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Ué, mas por quê não posso fazer [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1}[/tex3]
? '-'
Mai 2018
27
22:56
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Não é meramente a derivada de um polinômio... Se trata da derivada de uma função composta, exatamente sobre o que diz respeito a regra da cadeia... Não é a mesma coisa derivar [tex3]f(x)=x^{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow f(x)=4x^{2}+4x+1 \Rightarrow f^{\prime}(x)=8x+4[/tex3]
E se você usar a mesma lógica que está usando no seu exercício, a derivada dessa mesma função na forma fatorada é:
[tex3]\Rightarrow f(x)=(2x+1)^{2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=2(2x+1)=4x+2[/tex3]
Que evidentemente está errada... Mas se chamarmos [tex3]u=2x+1[/tex3] então [tex3]u^{\prime}=2[/tex3] e se usarmos [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3] então:
[tex3]\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\cdot(2x+1)\cdot2=4(2x+1)=8x+4[/tex3]
E você obtém o resultado correto
e [tex3]f(x)=(2x+1)^{2}[/tex3]
... É fácil ver que [tex3]f(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1[/tex3]
e derivando essa função na forma expandida temos:[tex3]\Rightarrow f(x)=4x^{2}+4x+1 \Rightarrow f^{\prime}(x)=8x+4[/tex3]
E se você usar a mesma lógica que está usando no seu exercício, a derivada dessa mesma função na forma fatorada é:
[tex3]\Rightarrow f(x)=(2x+1)^{2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=2(2x+1)=4x+2[/tex3]
Que evidentemente está errada... Mas se chamarmos [tex3]u=2x+1[/tex3] então [tex3]u^{\prime}=2[/tex3] e se usarmos [tex3](u^{n})^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}[/tex3] então:
[tex3]\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\cdot(2x+1)\cdot2=4(2x+1)=8x+4[/tex3]
E você obtém o resultado correto
Mai 2018
27
23:06
Re: Dúvida sobre derivada (Regra da cadeia
Esclarecido!
Muito obrigado pelas explicações!
Muito obrigado pelas explicações!
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