Boa tarde, galera
Estou em dúvida no intervalo de integração do 'phi', não sei se ele vai de pi/4 a pi/2 ou se é outro intervalo
Se alguém puder me ajudar, agradeço.
Ache o volume do sólido interno à esfera [tex3]x^2+y^2+z^2=2z[/tex3]
e abaixo do parabolóide [tex3]x^2+y^2=z[/tex3]
.
Ensino Superior ⇒ Calcular volume de esfera abaixo do paraboloide Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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pedromonteiro 
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Mai 2018
27
15:38
Calcular volume de esfera abaixo do paraboloide
Última edição: caju (Dom 27 Mai, 2018 15:42). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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Cardoso1979 
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Jun 2018
03
12:14
Re: Calcular volume de esfera abaixo do paraboloide
Observe
Solução
Da intersecção de x² + y² + z² = 2z com z = x² + y², resulta ; z = 1 , z = 0. Logo, a projeção( do sólido W ) que é formada no plano xy é o disco: x² + y² = 1 , conclui-se então que 0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ 2π.
Gráfico ( coordenadas cartesianas )
• A equação da esfera em coordenadas esféricas é:
x² + y² + z² = 2z
[tex3]\rho^2 = 2\rho cos\phi [/tex3]
[tex3]\rho = 2cos\phi [/tex3]
Como z = 0 ( ver figura, plano xy ou z ≥ 0 ) , conclui-se que ;
[tex3]0 ≤ \rho ≤ 2cos\phi [/tex3]
e
[tex3]cos\phi = 0→\phi =\frac{π}{2} [/tex3]
• A equação do parabolóide se converte em;
x² + y² = z
[tex3]\rho^2sen^2\phi = \rho cos\phi [/tex3]
[tex3]\rho = \frac{cos\phi }{sen^2\phi }[/tex3]
Conclui-se que;
[tex3]0 ≤ \rho ≤ \frac{cos\phi }{sen^2\phi}[/tex3]
Por outro lado;
[tex3]\rho = \rho [/tex3]
[tex3]2cos\phi = \frac{cos\phi }{sen^2\phi}[/tex3]
[tex3]sen^2\phi = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]sen\phi = ±\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\phi = \frac{\pi }{4} [/tex3]
Logo;
[tex3]\frac{π}{4}≤\phi ≤ \frac{π}{2}[/tex3]
Portanto, o volume do sólido W ( entenda esse sólido em torno do parabolóide , infelizmente eu não tenho programa para desenhar em 3D ) é dado por;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos\phi }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta - \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi } }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta = \frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Ou simplesmente;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}^{2cos\phi }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta = \frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Nota:
Em coordenadas cartesianas :
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x²}}\int\limits_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{x^2+y^2}dxdydz=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Em coordenadas cilíndricas :
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1-\sqrt{1-r²}}^{r^2}r \ dzdrd\theta =\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Bons estudos!
Solução
Da intersecção de x² + y² + z² = 2z com z = x² + y², resulta ; z = 1 , z = 0. Logo, a projeção( do sólido W ) que é formada no plano xy é o disco: x² + y² = 1 , conclui-se então que 0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ 2π.
Gráfico ( coordenadas cartesianas )
- 1528031092471236705898.jpg (50.16 KiB) Exibido 3048 vezes
• A equação da esfera em coordenadas esféricas é:
x² + y² + z² = 2z
[tex3]\rho^2 = 2\rho cos\phi [/tex3]
[tex3]\rho = 2cos\phi [/tex3]
Como z = 0 ( ver figura, plano xy ou z ≥ 0 ) , conclui-se que ;
[tex3]0 ≤ \rho ≤ 2cos\phi [/tex3]
e
[tex3]cos\phi = 0→\phi =\frac{π}{2} [/tex3]
• A equação do parabolóide se converte em;
x² + y² = z
[tex3]\rho^2sen^2\phi = \rho cos\phi [/tex3]
[tex3]\rho = \frac{cos\phi }{sen^2\phi }[/tex3]
Conclui-se que;
[tex3]0 ≤ \rho ≤ \frac{cos\phi }{sen^2\phi}[/tex3]
Por outro lado;
[tex3]\rho = \rho [/tex3]
[tex3]2cos\phi = \frac{cos\phi }{sen^2\phi}[/tex3]
[tex3]sen^2\phi = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]sen\phi = ±\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\phi = \frac{\pi }{4} [/tex3]
Logo;
[tex3]\frac{π}{4}≤\phi ≤ \frac{π}{2}[/tex3]
Portanto, o volume do sólido W ( entenda esse sólido em torno do parabolóide , infelizmente eu não tenho programa para desenhar em 3D ) é dado por;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos\phi }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta - \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi } }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta = \frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Ou simplesmente;
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}^{2cos\phi }\rho ^2sen\phi \ d\rho d\phi d\theta = \frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Nota:
Em coordenadas cartesianas :
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x²}}\int\limits_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{x^2+y^2}dxdydz=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Em coordenadas cilíndricas :
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1-\sqrt{1-r²}}^{r^2}r \ dzdrd\theta =\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Bons estudos!
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pedromonteiro
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Jun 2018
03
21:48
Re: Calcular volume de esfera abaixo do paraboloide
Não tenho a resposta, a minha deu pi/3, mas eu fiz essa variação para o rho: [tex3]0 ≤ \rho ≤ 2cos\phi [/tex3]
-
Cardoso1979
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Abr 2021
16
16:15
Re: Calcular volume de esfera abaixo do paraboloide
pedromonteiro escreveu: ↑Dom 03 Jun, 2018 21:48Não tenho a resposta, a minha deu pi/3, mas eu fiz essa variação para o rho: [tex3]0 ≤ \rho ≤ 2cos\phi [/tex3]
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