Classifique, em função de λ ∈ R, a quádrica
(λ3-λ)x2 + λ2y2 + (λ+1)z2 = λ2+1
Ensino Superior ⇒ Geometria analítica [CLASSIFICAR QUÁDRICA] Tópico resolvido
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Mai 2021
16
15:53
Re: Geometria analítica [CLASSIFICAR QUÁDRICA]
Observe
Solução:
Analisamos na tabela abaixo a variação do sinal dos coeficientes da equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 :
[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline
& \ -∞ < \lambda < - 1 & \lambda = - 1 & - 1< \lambda
< 0 & \lambda = 0 & 0 < \lambda < 1 & \lambda = 1 & 1 < \lambda < ∞ \\
\hline
\lambda^3 - \lambda & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
\lambda^2 & + & + & + & 0 & + & + & + \\
\hline
\lambda + 1 & - & 0 & + & + & + & + & + \\
\hline
\lambda^2 + 1 & + & + & + & + & + & + & + \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Então, a equação representa:
• um hiperbolóide de duas folhas de eixo−OY se λ ∈ (− ∞ , − 1);
• dois planos paralelos, y = ± √2, se λ = −1;
• um elipsóide se λ ∈ (− 1 , 0);
• dois planos paralelos, z = ±1, se λ = 0;
• um hiperbolóide de uma folha de eixo−OX se λ ∈ (0,1);
• o cilindro elíptico y² + 2z² = 2 de eixo−OX se λ = 1;
• um elipsóide se λ ∈ (1 , + ∞).
Para λ = −1, λ = 0, λ ∈ (0 , 1), λ = 1 a quádrica é uma superfície regrada e, para λ = −1 e λ = 0, a quádrica é degenerada.
Um elipsóide dado pela equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 é de revolução se, e só se,
λ³ − λ = λ² ou λ³ − λ = λ + 1 ou λ² = λ + 1 , com λ ∈ (− 1 , 0) ∪ (1 , + ∞).
Assim, como:
• λ³ − λ = λ² ⇔ λ³ − λ² − λ = 0 ⇔ λ.(λ² − λ − 1) = 0 ⇔ λ = 0 ou λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ;
• λ³ − λ = λ + 1 ⇔ λ³ − 2λ − 1 = 0 ⇔ λ = −1 ou λ² − λ − 1 = 0 ⇔ λ = − 1 ou λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ;
• λ² = λ + 1 ⇔ λ² − λ − 1 = 0 ⇔ λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ,
a equação representa um elipsóide de revolução se, e só se, λ = = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) , pois [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 + √5 ) ∈ (1 , + ∞) e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 - √5 ) ∈ (− 1 , 0).
Para λ ∈ (− ∞ , − 1), a equação representa um hiperbolóide de duas folhas de eixo−OY.
Como as raízes λ = −1 e λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) da equação λ³ − λ = λ + 1 não pertencem ao intervalo (− ∞ , − 1), nenhum destes hiperbolóides é de revolução.
A equação representa um hiperbolóide de uma folha de eixo−OX se λ ∈ (0 , 1) e será de revolução se, e só se, λ² = λ + 1. Ou seja, se, e só se, λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ).
Como [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ∉ (0 , 1), nenhum hiperbolóide de uma folha de eixo−OX dado pela equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 é de revolução.
Nota
Todas as conclusões ( para ser redundante sem exceção ) feita por mim acima, ficará a cargo do leitor para verificar( pesquisar ). A pergunta principal foi sanada como mostrada na solução acima. Perguntas secundárias ( dúvidas, eu sei que a maioria das vezes sempre aparecem ) ficará a cargo do leitor como exercício, basta que o leitor pesquise no Google , lá o leitor irá encontrar disponível documentos em PDF , artigos , livros em PDF , etc , o leitor deverá também , juntar( complementar ) tudo isso com a explicação do seu professor em sala de aula referente ao assunto em questão!
Boa sorte e excelente estudo!
Solução:
Analisamos na tabela abaixo a variação do sinal dos coeficientes da equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 :
[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline
& \ -∞ < \lambda < - 1 & \lambda = - 1 & - 1< \lambda
< 0 & \lambda = 0 & 0 < \lambda < 1 & \lambda = 1 & 1 < \lambda < ∞ \\
\hline
\lambda^3 - \lambda & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
\lambda^2 & + & + & + & 0 & + & + & + \\
\hline
\lambda + 1 & - & 0 & + & + & + & + & + \\
\hline
\lambda^2 + 1 & + & + & + & + & + & + & + \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Então, a equação representa:
• um hiperbolóide de duas folhas de eixo−OY se λ ∈ (− ∞ , − 1);
• dois planos paralelos, y = ± √2, se λ = −1;
• um elipsóide se λ ∈ (− 1 , 0);
• dois planos paralelos, z = ±1, se λ = 0;
• um hiperbolóide de uma folha de eixo−OX se λ ∈ (0,1);
• o cilindro elíptico y² + 2z² = 2 de eixo−OX se λ = 1;
• um elipsóide se λ ∈ (1 , + ∞).
Para λ = −1, λ = 0, λ ∈ (0 , 1), λ = 1 a quádrica é uma superfície regrada e, para λ = −1 e λ = 0, a quádrica é degenerada.
Um elipsóide dado pela equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 é de revolução se, e só se,
λ³ − λ = λ² ou λ³ − λ = λ + 1 ou λ² = λ + 1 , com λ ∈ (− 1 , 0) ∪ (1 , + ∞).
Assim, como:
• λ³ − λ = λ² ⇔ λ³ − λ² − λ = 0 ⇔ λ.(λ² − λ − 1) = 0 ⇔ λ = 0 ou λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ;
• λ³ − λ = λ + 1 ⇔ λ³ − 2λ − 1 = 0 ⇔ λ = −1 ou λ² − λ − 1 = 0 ⇔ λ = − 1 ou λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ;
• λ² = λ + 1 ⇔ λ² − λ − 1 = 0 ⇔ λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ,
a equação representa um elipsóide de revolução se, e só se, λ = = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) , pois [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 + √5 ) ∈ (1 , + ∞) e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 - √5 ) ∈ (− 1 , 0).
Para λ ∈ (− ∞ , − 1), a equação representa um hiperbolóide de duas folhas de eixo−OY.
Como as raízes λ = −1 e λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) da equação λ³ − λ = λ + 1 não pertencem ao intervalo (− ∞ , − 1), nenhum destes hiperbolóides é de revolução.
A equação representa um hiperbolóide de uma folha de eixo−OX se λ ∈ (0 , 1) e será de revolução se, e só se, λ² = λ + 1. Ou seja, se, e só se, λ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ).
Como [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( 1 ± √5 ) ∉ (0 , 1), nenhum hiperbolóide de uma folha de eixo−OX dado pela equação (λ³ - λ)x² + λ²y² + (λ + 1)z² = λ² + 1 é de revolução.
Nota
Todas as conclusões ( para ser redundante sem exceção ) feita por mim acima, ficará a cargo do leitor para verificar( pesquisar ). A pergunta principal foi sanada como mostrada na solução acima. Perguntas secundárias ( dúvidas, eu sei que a maioria das vezes sempre aparecem ) ficará a cargo do leitor como exercício, basta que o leitor pesquise no Google , lá o leitor irá encontrar disponível documentos em PDF , artigos , livros em PDF , etc , o leitor deverá também , juntar( complementar ) tudo isso com a explicação do seu professor em sala de aula referente ao assunto em questão!
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