Ensino Superior ⇒ Integral Dupla - Cesgranrio Tópico resolvido

[MORANGA]

Determine o valor da integral dupla ∫_0^1▒∫_y^1▒〖2e^(-x^2 ) dxdy〗

Resposta: 1-1/e

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}2
e^{-x^{2}}dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}2
e^{-x^{2}}dxdy[/tex3]

Neste caso devemos "inverter a ordem" de integração, temos;

15267680387171599786055.jpg (54.22 KiB) Exibido 531 vezes

Pela figura acima, os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x, então;

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x}2
e^{-x^{2}}dydx =[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x}2
e^{-x^{2}}dydx =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{1} [2.y.e^{-x^{2}}]_{0}^{x}dx =[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{1} [2.y.e^{-x^{2}}]_{0}^{x}dx =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{1} 2.x.e^{-x^{2}}dx =[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{1} 2.x.e^{-x^{2}}dx =[/tex3]

Para calcular a integral acima, basta usar a substituição u = - x² → du = - 2x dx → 2xdx = - du, daí;

Então;

[tex3]\int\limits_{}^{} -e^{u}du = -e^{u} =[ - e^{-x^{2}} ]_{0}^{1} = - e^{-(1)^{2}} + e^{-0^{2}} = - \frac{1}{e} + 1= \frac{e-1}{e} [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{} -e^{u}du = -e^{u} =[ - e^{-x^{2}} ]_{0}^{1} = - e^{-(1)^{2}} + e^{-0^{2}} = - \frac{1}{e} + 1= \frac{e-1}{e} [/tex3]

Portanto;

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}2
e^{-x^{2}}dxdy = 1 - \frac{1}{e}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}2
e^{-x^{2}}dxdy = 1 - \frac{1}{e}[/tex3]

Bons estudos!