Ensino Superior ⇒ Cota inferior - Raio de Convergência da EDO Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2018
18
21:29
Cota inferior - Raio de Convergência da EDO
Seja a EDO [tex3](x+1)^3y'' + 4xy' + y = 0[/tex3]
determine a cota inferior da solução em série de potência da EDO em torno de [tex3]x_o=0[/tex3]
e [tex3]x_0 = 2[/tex3]
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O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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Cardoso1979 
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Mai 2018
19
11:48
Re: Cota inferior - Raio de Convergência da EDO
Observe
Solução
{ P( x ) = ( x + 1 )³
{ Q( x ) = 4x
{ R( x ) = 1
Então, as expansões em séries de potência, fica;
[tex3]p(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}= \frac{4x}{(x+1)^{3}}[/tex3]
e
[tex3]q(x)=\frac{R(x)}{P(x)}= \frac{1}{(x+1)^{3}}[/tex3]
Raízes de ( x + 1 )³ :
x = - 1
Calculando a distância ( para p(x) ) de [tex3]x_{o}=0[/tex3] a x = - 1, temos:
d( 0 , - 1 ) = 1
Logo, o raio de convergência de p( x ) é 1.
Como o denominador de q( x ) é o mesmo de p( x ) , então , a distância para q( x ) é 1 e o raio de convergência também vale 1.
Por outro lado;
Calculando a distância ( para p(x) ) de [tex3]x_{o}=2[/tex3] a x = - 1, temos:
d( 2 , - 1 ) = 3
Logo, o raio de convergência de p( x ) é 3.
Como o denominador de q( x ) é o mesmo de p( x ) , então , a distância para q( x ) é 3 e o raio de convergência também vale 3.
Mostra-se então que as séries de p( x ) e de q( x ) em torno de xo = 0 têm raio de convergência iguais a 1 e em torno de xo = 2 têm raio de convergência iguais a 3. Mostra-se também que 1 é uma cota inferior para o raio de convergência da série da solução em torno de xo = 0 e 3 é uma cota inferior para o raio de convergência da série da solução em torno de xo = 2. Assim, para xo = 0, uma cota inferior para o raio de convergência da solução é igual a 1 e para xo = 2, uma cota inferior para o raio de convergência da solução é igual a 3.
Espero que eu não tenha me confundido.
Bons estudos!
Solução
{ P( x ) = ( x + 1 )³
{ Q( x ) = 4x
{ R( x ) = 1
Então, as expansões em séries de potência, fica;
[tex3]p(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}= \frac{4x}{(x+1)^{3}}[/tex3]
e
[tex3]q(x)=\frac{R(x)}{P(x)}= \frac{1}{(x+1)^{3}}[/tex3]
Raízes de ( x + 1 )³ :
x = - 1
Calculando a distância ( para p(x) ) de [tex3]x_{o}=0[/tex3] a x = - 1, temos:
d( 0 , - 1 ) = 1
Logo, o raio de convergência de p( x ) é 1.
Como o denominador de q( x ) é o mesmo de p( x ) , então , a distância para q( x ) é 1 e o raio de convergência também vale 1.
Por outro lado;
Calculando a distância ( para p(x) ) de [tex3]x_{o}=2[/tex3] a x = - 1, temos:
d( 2 , - 1 ) = 3
Logo, o raio de convergência de p( x ) é 3.
Como o denominador de q( x ) é o mesmo de p( x ) , então , a distância para q( x ) é 3 e o raio de convergência também vale 3.
Mostra-se então que as séries de p( x ) e de q( x ) em torno de xo = 0 têm raio de convergência iguais a 1 e em torno de xo = 2 têm raio de convergência iguais a 3. Mostra-se também que 1 é uma cota inferior para o raio de convergência da série da solução em torno de xo = 0 e 3 é uma cota inferior para o raio de convergência da série da solução em torno de xo = 2. Assim, para xo = 0, uma cota inferior para o raio de convergência da solução é igual a 1 e para xo = 2, uma cota inferior para o raio de convergência da solução é igual a 3.
Espero que eu não tenha me confundido.
Bons estudos!
Mai 2018
19
11:55
Re: Cota inferior - Raio de Convergência da EDO
Olá cardoso, bom eu também fiz assim.
Mas o livro chegou em [tex3]\sqrt {3} [/tex3] no segundo caso, só não sei como.
Mas o livro chegou em [tex3]\sqrt {3} [/tex3] no segundo caso, só não sei como.
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Cardoso1979
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Mai 2018
19
13:51
Re: Cota inferior - Raio de Convergência da EDO
O gabarito do livro está errado... me parece que mudou a edição do livro, mudaram o exercício e esqueceram de mudar o gabarito.
Para dar [tex3]\sqrt{3}[/tex3] teria que ser a EDO: [tex3](1+x^3)y'' + 4xy' + y = 0[/tex3] que teria solução complexa.
Obrigado, Cardozo.
Para dar [tex3]\sqrt{3}[/tex3] teria que ser a EDO: [tex3](1+x^3)y'' + 4xy' + y = 0[/tex3] que teria solução complexa.
Obrigado, Cardozo.
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