Um recipiente de lata, de forma cilíndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de V litros. Determine a razão entra a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível.
Resposta: h= d/2
Ensino Superior ⇒ Cálculo em administração Tópico resolvido
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Abr 2021
28
12:33
Re: Cálculo em administração
Observe
Solução:
Pelo enunciado devemos então minimizar a área total do cilindro. Primeiramente vemos que o volume do cilindro é dado por
V = πr²h
Daí,
πr².h = V → [tex3]h = \frac{V}{πr^ 2} \ ( I )[/tex3] .
Área total do cilindro:
A( r ) = [tex3]A_{base} \ + \ A_{lateral}[/tex3]
A( r ) = πr² + 2πrh ( I I )
Substituindo ( I ) em ( I I ), fica;
[tex3]A(r) = πr^2 + 2\cancel{π}.\cancel{r}.\frac{V}{\cancel{π}.\cancel{r}.r}[/tex3]
[tex3]A(r) = πr^2 + \frac{2V}{r}[/tex3]
Derivando A( r ) :
[tex3]A'(r) = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]
Fazendo A'( r ) = 0 , vem;
[tex3]0 = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]
[tex3]2πr = \frac{2V}{r^2}[/tex3]
π.r³ = V
[tex3]r = \sqrt[3]{\frac{V}{π}} \ ( III )[/tex3]
Como d = 2.r, temos
[tex3]d = 2.\sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]
[tex3]d = \sqrt[3]{\frac{8V}{π}}[/tex3] .
Por outro lado, substituindo ( I I I ) em ( I ) , vem
[tex3]h = \frac{V}{π.\sqrt[3]{\frac{V^2}{π^2}}}[/tex3]
que desenvolvendo, obtemos
[tex3]h = \sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]
Como o autor está pedindo a razão entre a altura h e o diâmetro d da base , então
[tex3]\frac{h}{d} = \frac{\sqrt[3]{\frac{V}{π}}}{\sqrt[3]{\frac{8V}{π}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} → h = \frac{d}{2}[/tex3] .
Portanto, a razão entre a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível é [tex3]\frac{h}{d} = \frac{1}{2}[/tex3] que equivale a [tex3]h = \frac{d}{2}[/tex3] .
Excelente estudo!
Solução:
Pelo enunciado devemos então minimizar a área total do cilindro. Primeiramente vemos que o volume do cilindro é dado por
V = πr²h
Daí,
πr².h = V → [tex3]h = \frac{V}{πr^ 2} \ ( I )[/tex3] .
Área total do cilindro:
A( r ) = [tex3]A_{base} \ + \ A_{lateral}[/tex3]
A( r ) = πr² + 2πrh ( I I )
Substituindo ( I ) em ( I I ), fica;
[tex3]A(r) = πr^2 + 2\cancel{π}.\cancel{r}.\frac{V}{\cancel{π}.\cancel{r}.r}[/tex3]
[tex3]A(r) = πr^2 + \frac{2V}{r}[/tex3]
Derivando A( r ) :
[tex3]A'(r) = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]
Fazendo A'( r ) = 0 , vem;
[tex3]0 = 2πr - \frac{2V}{r^2}[/tex3]
[tex3]2πr = \frac{2V}{r^2}[/tex3]
π.r³ = V
[tex3]r = \sqrt[3]{\frac{V}{π}} \ ( III )[/tex3]
Como d = 2.r, temos
[tex3]d = 2.\sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]
[tex3]d = \sqrt[3]{\frac{8V}{π}}[/tex3] .
Por outro lado, substituindo ( I I I ) em ( I ) , vem
[tex3]h = \frac{V}{π.\sqrt[3]{\frac{V^2}{π^2}}}[/tex3]
que desenvolvendo, obtemos
[tex3]h = \sqrt[3]{\frac{V}{π}}[/tex3]
Como o autor está pedindo a razão entre a altura h e o diâmetro d da base , então
[tex3]\frac{h}{d} = \frac{\sqrt[3]{\frac{V}{π}}}{\sqrt[3]{\frac{8V}{π}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} → h = \frac{d}{2}[/tex3] .
Portanto, a razão entre a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível é [tex3]\frac{h}{d} = \frac{1}{2}[/tex3] que equivale a [tex3]h = \frac{d}{2}[/tex3] .
Excelente estudo!
Mai 2021
16
03:36
Re: Cálculo em administração
Por que foi importante fazer a derivada igual a zero?
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Mai 2021
16
07:45
Re: Cálculo em administração
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