(a) Ache a fórmula de recursão para [tex3]a_{n}+1[/tex3] .
(b) Mostre que a sequência [tex3](a_{n})[/tex3] converge e calcule seu limite
Desde já muito obrigado pela ajuda.
Resposta
(a) = [tex3]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Sequência com Princípio de Indução Finita (PIF) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2018
15
13:31
Sequência com Princípio de Indução Finita (PIF)
Considere a sequência [tex3]a_{1}=\sqrt{2}[/tex3]
, [tex3]a_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
, [tex3]a_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}[/tex3]
,...
(a) Ache a fórmula de recursão para [tex3]a_{n}+1[/tex3] .
(b) Mostre que a sequência [tex3](a_{n})[/tex3] converge e calcule seu limite
Desde já muito obrigado pela ajuda.
(a) = [tex3]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/tex3]
(a) Ache a fórmula de recursão para [tex3]a_{n}+1[/tex3] .
(b) Mostre que a sequência [tex3](a_{n})[/tex3] converge e calcule seu limite
Desde já muito obrigado pela ajuda.
(a) = [tex3]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/tex3]
Última edição: FilipeDLQ (Ter 15 Mai, 2018 13:32). Total de 1 vez.
Mai 2018
16
09:02
Re: Sequência com Princípio de Indução Finita (PIF)
Bom, observe que [tex3]a_2=\sqrt{2+a_{1}}[/tex3]
e [tex3]a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}[/tex3]
. Assim, temos uma sequência [tex3]\{ a_{n} \}[/tex3]
onde [tex3]a_{1}=\sqrt{2}[/tex3]
e [tex3]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \ , \forall n \in \mathbb{N}[/tex3]
. Isto responde a letra A.
Para mostrar que a sequência [tex3]\{ a_{n} \}[/tex3] converge, vamos mostrar que: [tex3]\sqrt{2} \le a_{n} \le 2 \ ,\forall n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Para [tex3]n=1[/tex3] o resultado é óbvio. Seguindo o princípio de indução, vamos assumir verdadeiro para algum [tex3]n[/tex3] qualquer e provar que seja válido para [tex3]n+1[/tex3] . Logo:
[tex3]\Rightarrow \sqrt{2} \le a_{n} \le 2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/tex3]
Vamos chamar de [tex3]m[/tex3] o valor mínimo de [tex3]a_{n+1}[/tex3] dada a restrição de [tex3]a_{n}[/tex3] e de [tex3]M[/tex3] o valor máximo. O mínimo (ou máximo) de [tex3]a_{n+1}[/tex3] é quando [tex3]a_{n}[/tex3] é mínimo (ou máximo). Assim:
[tex3]\Rightarrow m=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow M=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/tex3]
Logo, [tex3]\Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{2+\sqrt{2}} \le a_{n+1} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt{2} \le a_{n+1} \le 2[/tex3] . Portanto, pelo princípio de indução concluímos que é verdadeira a afirmação [tex3]\sqrt{2} \le a_{n} \le 2 \ ,\forall n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Agora, sendo [tex3]\{ a_{n} \}[/tex3] monótona e limitada (acabamos de provar), ela é convergente. Logo, existe um limite [tex3]L[/tex3] .
[tex3]\Rightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} a_{n}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} a_{n+1}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} \sqrt{2+a_{n}}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \sqrt{2+L}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow L^{2}-L-2=0[/tex3]
E como [tex3]\sqrt{2} \le L \le 2[/tex3] , a única solução da equação acima é [tex3]L=2[/tex3] .
Para mostrar que a sequência [tex3]\{ a_{n} \}[/tex3] converge, vamos mostrar que: [tex3]\sqrt{2} \le a_{n} \le 2 \ ,\forall n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Para [tex3]n=1[/tex3] o resultado é óbvio. Seguindo o princípio de indução, vamos assumir verdadeiro para algum [tex3]n[/tex3] qualquer e provar que seja válido para [tex3]n+1[/tex3] . Logo:
[tex3]\Rightarrow \sqrt{2} \le a_{n} \le 2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/tex3]
Vamos chamar de [tex3]m[/tex3] o valor mínimo de [tex3]a_{n+1}[/tex3] dada a restrição de [tex3]a_{n}[/tex3] e de [tex3]M[/tex3] o valor máximo. O mínimo (ou máximo) de [tex3]a_{n+1}[/tex3] é quando [tex3]a_{n}[/tex3] é mínimo (ou máximo). Assim:
[tex3]\Rightarrow m=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow M=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/tex3]
Logo, [tex3]\Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{2+\sqrt{2}} \le a_{n+1} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt{2} \le a_{n+1} \le 2[/tex3] . Portanto, pelo princípio de indução concluímos que é verdadeira a afirmação [tex3]\sqrt{2} \le a_{n} \le 2 \ ,\forall n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Agora, sendo [tex3]\{ a_{n} \}[/tex3] monótona e limitada (acabamos de provar), ela é convergente. Logo, existe um limite [tex3]L[/tex3] .
[tex3]\Rightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} a_{n}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} a_{n+1}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lim_{n \ \rightarrow \ \infty} \sqrt{2+a_{n}}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \sqrt{2+L}=L[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow L^{2}-L-2=0[/tex3]
E como [tex3]\sqrt{2} \le L \le 2[/tex3] , a única solução da equação acima é [tex3]L=2[/tex3] .
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 3474 Exibições
-
Última msg por JotaV
-
- 1 Respostas
- 4211 Exibições
-
Última msg por deOliveira
-
- 0 Respostas
- 226 Exibições
-
Última msg por Idocrase
-
- 1 Respostas
- 240 Exibições
-
Última msg por Idocrase
