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Se m ∈ ]0,1[ e [tex3]f(x)=\sum_{k\geq 1}^{}\frac{m^{k}x^{k}}{k}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\sum_{k\geq 1}^{}\frac{m^{k}x^{k}}{k}[/tex3]

, -1/m < x < 1/m, então f' (1) é igual a

a)m
b)0
c)m / (1+m)
d)1/ (1-m)
e)m/(1-m)
Alguém pode me ajudar a entender essa questão, o que fiz:
derivei f(x), e ache [tex3]f'(x)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}x^{k-1}[/tex3]

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[tex3]f'(x)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}x^{k-1}[/tex3]

depois fiz [tex3]f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}(1)^{k-1}[/tex3]

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[tex3]f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}(1)^{k-1}[/tex3]

[tex3]f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}=m+m^2+m^3+...[/tex3]

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[tex3]f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}=m+m^2+m^3+...[/tex3]

Dai não sei mais o que fazer também não sei se está certo.

Quando você chegou aqui:

[tex3]\Rightarrow f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}=m+m^2+m^3+ \ ...[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow f'(1)=\sum_{k\geq 1}^{}m^{k}=m+m^2+m^3+ \ ...[/tex3]

Você obteve uma série geométrica convergente (ela é convergente pois [tex3]0 < m < 1[/tex3]

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[tex3]0 < m < 1[/tex3]

). Assim, a soma infinita de uma série geométrica é:

[tex3]\Rightarrow S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{Primeiro \ termo}{1-\ razao}[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{Primeiro \ termo}{1-\ razao}[/tex3]

Logo:

[tex3]\Rightarrow f'(1)=\frac{m}{1-m}[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow f'(1)=\frac{m}{1-m}[/tex3]

Obrigado Fortran, você sempre me salvando rsrs.