Ensino SuperiorMódulo máximo do gradiente Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
thejotta
Junior
Mensagens: 13
Registrado em: Seg 26 Jan, 2015 13:01
Última visita: 30-05-18
Mai 2018 02 12:41

Módulo máximo do gradiente

Mensagem não lida por thejotta »

Quais são os pontos da circunferência [tex3]{x}^{2}+{y}^{2}=1[/tex3] em que o gradiente de [tex3]f(x,y)=\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}[/tex3] tem módulo máximo?


a)(0,-1) e (0,1)
b)(-1,0) e (1,0)
c)(-√2/2 , - √2/2) e (√2/2, √2/2)
d)(1,0) e (0,1)
e)(-1,0) e (0,-1)

Fiz o gradiente de F(x,y)=(x,2y), mas não sei como continuar para chegar nesse resultado.
Resposta

O gabarito é letra A.
Se alguém puder me ajudar ficarei muito grato.




Avatar do usuário
fortran
2 - Nerd
Mensagens: 65
Registrado em: Sex 27 Abr, 2018 12:12
Última visita: 02-12-20
Mai 2018 02 14:11

Re: Módulo máximo do gradiente

Mensagem não lida por fortran »

Bom, isto é uma questão de otimização... Mais especificamente, sobre máximos e mínimos condicionados... A técnica mais conhecida para resolver problemas deste tipo, é o método dos Multiplicadores de Lagrange. Como não sei se você está familiarizado com isso, não vou usar esse método, vamos fazer de um modo "braçal", através de substituição mesmo...

O seu cálculo do gradiente está correto. Seja a função [tex3]M(x,y)[/tex3] que representa o módulo do gradiente. Logo, [tex3]M(x,y)=\sqrt{x^{2}+4y^{2}}[/tex3] . Queremos achar pontos de máximo desta função na circunferência [tex3]x^2+y^2=1[/tex3] . Isolando [tex3]x^{2}[/tex3] na equação da circunferência, temos que [tex3]x^{2}=1-y^{2}[/tex3] e substituindo este resultado em [tex3]M(x,y)[/tex3] conseguimos eliminar uma variável e ficar com a função:

[tex3]\Rightarrow M(y)=\sqrt{1+3y^{2}}[/tex3] onde [tex3]-1 \le y \le 1[/tex3] (pois deve pertencer a circunferência).

É óbvio que esta função [tex3]M(y)[/tex3] terá seu máximo nos pontos onde [tex3]y^{2}[/tex3] tem seu maior valor, que será nos extremos do intervalo, ou seja em [tex3]y_{1}=-1[/tex3] e [tex3]y_{2}=1[/tex3] . E achamos o [tex3]x[/tex3] correspondente fazendo:

[tex3]\Rightarrow x_{1}^{2}=1-y_{1}^{2} \Leftrightarrow x_{1}=0[/tex3]
[tex3]\Rightarrow x_{2}^{2}=1-y_{2}^{2} \Leftrightarrow x_{2}=0[/tex3]

Assim, os pontos de máximo são [tex3]P_{1}=(0,-1)[/tex3] e [tex3]P_{2}=(0,1)[/tex3] . Letra A.




Avatar do usuário
Autor do Tópico
thejotta
Junior
Mensagens: 13
Registrado em: Seg 26 Jan, 2015 13:01
Última visita: 30-05-18
Mai 2018 02 14:17

Re: Módulo máximo do gradiente

Mensagem não lida por thejotta »

Era dessa forma mesmo que queria entender a solução, obrigado amigo. :D



Avatar do usuário
Binga
iniciante
Mensagens: 5
Registrado em: Qua 30 Mai, 2018 13:02
Última visita: 04-06-18
Mai 2018 30 16:42

Re: Módulo máximo do gradiente

Mensagem não lida por Binga »

Obrigado pela ajuda!!!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”