Ensino Superior ⇒ Derivadas - Taxa de variação Tópico resolvido

[SecretGirl]

Variação nas arestas de um cubo.

O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1.200 cm3/min no instante em que suas arestas têm 20 cm de comprimento. A que taxa os comprimentos das arestas variam nesse momento?

[fortran]

O volume de um cubo de lado [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

será dado por [tex3]V=x^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=x^{3}[/tex3]

. Assim:

[tex3]\Rightarrow V=x^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow V=x^{3}[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{d(x^{3})}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{d(x^{3})}{dt}[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{d(x^{3})}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{d(x^{3})}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=3x^{2}\cdot\frac{dx}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \frac{dV}{dt}=3x^{2}\cdot\frac{dx}{dt}[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \dfrac{1}{3x^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}=\frac{dx}{dt}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Leftrightarrow \dfrac{1}{3x^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}=\frac{dx}{dt}[/tex3]

Nestes passos acima, foi utilizado a regra da cadeia. Substituindo os dados do problema, ou seja, [tex3]\frac{dV}{dt}=1200 \ \frac{cm^{3}}{min}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dV}{dt}=1200 \ \frac{cm^{3}}{min}[/tex3]

e [tex3]x=20\ cm[/tex3]

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[tex3]x=20\ cm[/tex3]

, temos que [tex3]\frac{dx}{dt}=1\ \frac{cm}{min}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dx}{dt}=1\ \frac{cm}{min}[/tex3]

.