Encontre a integral indefinita pelo método da substituição:
[tex3]\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx[/tex3]
Sugestão: Tome [tex3]u=1+\sqrt x[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo - Integrais Tópico resolvido
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20
23:41
Cálculo - Integrais
Última edição: caju (Sáb 21 Abr, 2018 08:48). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
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Abr 2018
21
08:09
Re: Cálculo - Integrais
Observe:
Solução
Fazendo u = 1 + √x → √x = u - 1, por outro lado, du = [tex3]\frac{dx}{2\sqrt{x}}[/tex3] → dx = 2√(x)du → dx = 2( u - 1 )du → dx = (2u - 2 )du. Daí;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-(u-1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(1-u+1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2-u).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(4u-4-2u^{2}+2u)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(6u-4-2u^{2})}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}(6-2u-\frac{4}{u})du=[/tex3] 6u - u² - 4ln | u |
Como u = 1 + √x , temos:
6( 1 + √x ) - ( 1 + √x )² - 4ln | 1 + √x | + c =
6 + 6√(x) - 1 - 2√(x) - x - 4ln | 1 + √x | + c =
- x + 4√(x) - 4ln | 1 + √x | + c + 5
Onde, c + 5 = C
Portanto;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx= - x +4\sqrt{x}-4ln |1 + \sqrt
{x} |+ C[/tex3]
Bons estudos!!
Solução
Fazendo u = 1 + √x → √x = u - 1, por outro lado, du = [tex3]\frac{dx}{2\sqrt{x}}[/tex3] → dx = 2√(x)du → dx = 2( u - 1 )du → dx = (2u - 2 )du. Daí;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-(u-1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(1-u+1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2-u).(2u-2)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(4u-4-2u^{2}+2u)}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(6u-4-2u^{2})}{u}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}(6-2u-\frac{4}{u})du=[/tex3] 6u - u² - 4ln | u |
Como u = 1 + √x , temos:
6( 1 + √x ) - ( 1 + √x )² - 4ln | 1 + √x | + c =
6 + 6√(x) - 1 - 2√(x) - x - 4ln | 1 + √x | + c =
- x + 4√(x) - 4ln | 1 + √x | + c + 5
Onde, c + 5 = C
Portanto;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx= - x +4\sqrt{x}-4ln |1 + \sqrt
{x} |+ C[/tex3]
Bons estudos!!
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