Ensino Superior ⇒ Cálculo - Integrais Tópico resolvido

[daniloxd18]

Encontre a integral indefinita pelo método da substituição:

[tex3]\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx[/tex3]

Sugestão: Tome [tex3]u=1+\sqrt x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=1+\sqrt x[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

Fazendo u = 1 + √x → √x = u - 1, por outro lado, du = [tex3]\frac{dx}{2\sqrt{x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dx}{2\sqrt{x}}[/tex3]

→ dx = 2√(x)du → dx = 2( u - 1 )du → dx = (2u - 2 )du. Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-(u-1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-(u-1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(1-u+1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(1-u+1).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2-u).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2-u).(2u-2)}{u}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(4u-4-2u^{2}+2u)}{u}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(4u-4-2u^{2}+2u)}{u}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(6u-4-2u^{2})}{u}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(6u-4-2u^{2})}{u}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}(6-2u-\frac{4}{u})du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}(6-2u-\frac{4}{u})du=[/tex3]

6u - u² - 4ln | u |

Como u = 1 + √x , temos:

6( 1 + √x ) - ( 1 + √x )^2 - 4ln | 1 + √x | + c =

6 + 6√(x) - 1 - 2√(x) - x - 4ln | 1 + √x | + c =

- x + 4√(x) - 4ln | 1 + √x | + c + 5

Onde, c + 5 = C

Portanto;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx= - x +4\sqrt{x}-4ln |1 + \sqrt
{x} |+ C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx= - x +4\sqrt{x}-4ln |1 + \sqrt
{x} |+ C[/tex3]

Bons estudos!!

[daniloxd18]

Muito Obrigado !!!

[Cardoso1979]

Muito Obrigado !!!

Disponha