Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Guferreira** » 18 Abr 2018, 16:27 · Mensagem não lida por **Guferreira** » 18 Abr 2018, 16:27

Encontre os pontos da superfície [tex3]2x^2+3y^2-4z^2=9[/tex3] nos quais o plano tangente a superfície é perpendicular a curva [tex3]\vec{r}(t)=(-1+t, 3+3t, 1-\sqrt{5}t)[/tex3] .

Gabarito:

Resposta

[tex3]P(-1, -2, -\frac{\sqrt{5}}{2})[/tex3] e [tex3]Q(1, 2, \frac{\sqrt{5}}{2})[/tex3]

Mensagem não lidapor **jedi** » 20 Abr 2018, 23:58 · Mensagem não lida por **jedi** » 20 Abr 2018, 23:58

[tex3]z=\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}[/tex3]

encontrando um vetor normal à superfície.

[tex3]\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1\right)[/tex3]

[tex3]=\left(\frac{2x}{4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}},\frac{3y}{4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}},-1\right)[/tex3]

agora encontrando o vetor direção da reta

[tex3]\left(\frac{d(-1+t)}{dt},\frac{d(3+3t)}{dt},\frac{d(1-\sqrt5}{dt}\right)[/tex3]

[tex3]=(1,3,-\sqrt5)[/tex3]

para que o plano tangente seja perpendicular à reta, o vetor normal ao plano e o vetor direção da reta tem que ter a mesma direção e sentido, ou seja, um é múltiplo do outro, portanto suas coordenadas são proporcionais:

[tex3]\frac{\frac{2x}{4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}}}{\frac{3y}{4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}}}=\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2x}{3y}=\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]2x=y[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{2x}{4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}}}{-1}=\frac{1}{-\sqrt5}[/tex3]

[tex3]\frac{2x}{-4\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}}=\frac{1}{-\sqrt5}[/tex3]

[tex3]\sqrt5.x=2\sqrt{\frac{2x^2+3y^2-9}{4}}[/tex3]

[tex3]5x^2=4.\frac{2x^2+3y^2-9}{4}[/tex3]

[tex3]5x^2=2x^2+3(2x)^2-9[/tex3]

[tex3]9x^2-9=0[/tex3]

[tex3]x=\pm1[/tex3]

agora é só substituir o valor de x nas outras relações e encontrar y e z

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