Ensino Superior ⇒ Função Crescimento de Bactérias Tópico resolvido

[DonCorleone]

O número de bactérias numa cultura exposta a certas condições pode ser representada pela lei da função [tex3]N(t) = 100 + \frac{2000t}{t+1}[/tex3]

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[tex3]N(t) = 100 + \frac{2000t}{t+1}[/tex3]

em [tex3]t[/tex3]

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[tex3]t[/tex3]

indica o tempo, em minutos.

(a) Qual a população limite de bactérias segundo essa lei matemática?
(b) Qual a taxa de variação da população de bactérias no instante de tempo 𝑡 = 3 𝑚𝑖𝑛?

[ExpansionMath]

Olá, boa noite!

a) Manipulando a função [tex3]N(t)[/tex3]

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[tex3]N(t)[/tex3]

, temos que:

[tex3]N(t)=\frac{2100t+100}{t+1}[/tex3]

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[tex3]N(t)=\frac{2100t+100}{t+1}[/tex3]

a) A população limite de bactérias ocorre quando a derivada da função [tex3]N(t)[/tex3]

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[tex3]N(t)[/tex3]

é nula. Logo,

[tex3]N'(t)=0[/tex3]

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[tex3]N'(t)=0[/tex3]

Dessa forma,

[tex3]\frac{(2100)(t+1)-1(2100t+100)}{(t+1)^2}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{(2100)(t+1)-1(2100t+100)}{(t+1)^2}=0[/tex3]

Resolvendo a equação acima chegamos numa não-verdade

b) A resolução da parte "b" depende da resolução da parte "a".

Gostaria que alguém avaliasse o meu ponto de vista para saber se estou de todo errada ou se há algum erro no enunciado da questão.

Agradeço,

Hipátia

[LucasPinafi]

a) Só fazer t tender ao infinito:
[tex3]N(t\to \infty) = 100 + \frac{2000t}{t+1} = 100 + \frac{2000}{1+\frac 1 t} \approx 100+2000 = 2100 [/tex3]

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[tex3]N(t\to \infty) = 100 + \frac{2000t}{t+1} = 100 + \frac{2000}{1+\frac 1 t} \approx 100+2000 = 2100 [/tex3]

b) Só calcular N'(3)

[DonCorleone]

Olá Lucas,
Consegui resolver à letra (a) e bate com tua resposta.

b)
[tex3]N(t) = 100 + \frac{2000t}{t+1}[/tex3]

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[tex3]N(t) = 100 + \frac{2000t}{t+1}[/tex3]

[tex3]N'(t) = \frac{2000*(t+1)-1*2000*t}{(t+1)^2}[/tex3]

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[tex3]N'(t) = \frac{2000*(t+1)-1*2000*t}{(t+1)^2}[/tex3]

[tex3]N'(t) = \frac{2000*(t+1)-2000*t}{(t+1)^2}[/tex3]

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[tex3]N'(t) = \frac{2000*(t+1)-2000*t}{(t+1)^2}[/tex3]

[tex3]N'(3) = \frac{2000*(3+1)-2000*3}{(3+1)^2}[/tex3]

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[tex3]N'(3) = \frac{2000*(3+1)-2000*3}{(3+1)^2}[/tex3]

[tex3]N'(3) = \frac{6000+2000-6000}{(4)^2}[/tex3]

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[tex3]N'(3) = \frac{6000+2000-6000}{(4)^2}[/tex3]

[tex3]N'(3) = \frac{2000}{16}[/tex3]

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[tex3]N'(3) = \frac{2000}{16}[/tex3]

[tex3]N'(3) = 125 [/tex3]

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[tex3]N'(3) = 125 [/tex3]

Está correta?

[ExpansionMath]

Qual o raciocínio que devo usar para fazer t tender a infinito?

Pensei no valor máximo fazendo a derivada da função e igualando a zero.

[GFerraz]

Qual o raciocínio que devo usar para fazer t tender a infinito?

Pensei no valor máximo fazendo a derivada da função e igualando a zero.

O valor máximo existe em pontos que a função está definida. Aqui, a ideia que melhor se aplica é a de supremo. Podemos imaginar que existe uma assíntota horizontal no valor N = 2100 para o qual a função se aproxima e, por ser assíntota, nunca será atingida(e, portanto, não será um máximo).

At. Ferraz