Ensino Superior ⇒ Cálculo de Área Tópico resolvido

[JTORRES]

A máxima taxa de variação da função [tex3]f( x,y,z)= x^2 + y ^2 - 2z^2 + z\ln x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f( x,y,z)= x^2 + y ^2 - 2z^2 + z\ln x[/tex3]

no ponto [tex3](1,\,1,\,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1,\,1,\,1)[/tex3]

vale ?

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Primeiro calcularemos o vetor gradiente:

[tex3]\nabla f(x,y,z) = < f_{x} , f_{y} , f_{z} > = \left< 2x + \frac{z}{x} \ , \ 2y \ , \ -4z+ln(x)\right>[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\nabla f(x,y,z) = < f_{x} , f_{y} , f_{z} > = \left< 2x + \frac{z}{x} \ , \ 2y \ , \ -4z+ln(x)\right>[/tex3]

No ponto P = ( 1 , 1 , 1 ) :

[tex3]\nabla f(1,1,1) = < 3 , 2 , - 4 > [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\nabla f(1,1,1) = < 3 , 2 , - 4 > [/tex3]

.

Assim, a máxima taxa de variação é

[tex3]|\nabla f(1,1,1)| = | < 3 , 2 , - 4 > | = \sqrt{3^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\nabla f(1,1,1)| = | < 3 , 2 , - 4 > | = \sqrt{3^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}[/tex3]

Logo,

[tex3]|\nabla f(1,1,1)| = \sqrt{29}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\nabla f(1,1,1)| = \sqrt{29}[/tex3]

.



Excelente estudo!