Alguém me ajuda?
Determine todas as funções contínuas f : R → R tais que f(x + y) = f(x)f(y) para quaisquer x, y reais.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Ensino Superior ⇒ Funções contínuas- curso de análise real
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julianamelo
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Abr 2018
09
20:30
Re: Funções contínuas- curso de análise real
coloque [tex3]x=0[/tex3]
e teremos [tex3]f(y) = f(0) f(y) \,\,\,\, \forall y \in \mathbb R[/tex3]
em particular [tex3]f(0) = f(0)^2 \iff f(0) =0 \,\,\, \text{ou}\,\, f(0)=1[/tex3]
se [tex3]f(0) = 0[/tex3] então [tex3]f(y) = 0 \,\,\, \forall y \in \mathbb R[/tex3] e a função é a função nula. A qual, de fato é contínua e satisfaz a equação.
A outra opção é [tex3]f(0) =1[/tex3] .
Repare agora que [tex3]f(x) =f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0[/tex3] logo [tex3]f(x)[/tex3] nunca é negativa.
Seja então [tex3]f(1)= a >0[/tex3]
mostra-se por indução que [tex3]f(n) = a^n[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] natural:
de fato para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]f(1)=a[/tex3]
supondo que [tex3]f(n) =a^n[/tex3] para algum [tex3]n[/tex3] natural então [tex3]f(n+1) = f(1) f(n) = a \cdot a^n = a^{n+1}[/tex3] cqd.
logo [tex3]f(n) = a^n[/tex3] quando [tex3]n \in \mathbb N[/tex3]
agora prova-se por indução que [tex3]f( \sum_{i=1}^n x_i ) = \prod_{i=1}^nf(x_i)[/tex3]
de fato para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]f(x_1) = f(x_1)[/tex3]
supondo [tex3]f( \sum_{i=1}^n x_i ) = \prod_{i=1}^nf(x_i)[/tex3] então [tex3]f( \sum_{i=1}^{n+1} x_i ) =f( \sum_{i=1}^{n} x_i + x_{n+1} ) = f(x_{n+1}) \cdot \prod_{i=1}^nf(x_i) = \prod_{i=1}^{n+1}f(x_i) [/tex3]
então coloque [tex3]n[/tex3] e [tex3]x_i = \frac 1n[/tex3] e teremos [tex3]f(\frac n n) = f(\frac 1n)^n \implies f(\frac 1n) = a^{\frac1n][/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] natural.
Colocando [tex3]n =p[/tex3] e [tex3]x_i = \frac1q[/tex3] e terá [tex3]f(\frac p q) = a^{\frac pq}[/tex3] ou seja [tex3]f(x) = a^x[/tex3] se [tex3]x[/tex3] for racional.
Para extrapolar para os reais é fácil tome um número real qualquer [tex3]r[/tex3] . Ele é limite de uma sequência de racionais arbitrária [tex3]q_n[/tex3] . Como [tex3]f[/tex3] é contínua então [tex3]f(r) = f(\lim q_n) = \lim f(q_n) = \lim a^{q_n} = a^r[/tex3]
logo [tex3]f(x) =a^x[/tex3] para todo x real
em particular [tex3]f(0) = f(0)^2 \iff f(0) =0 \,\,\, \text{ou}\,\, f(0)=1[/tex3]
se [tex3]f(0) = 0[/tex3] então [tex3]f(y) = 0 \,\,\, \forall y \in \mathbb R[/tex3] e a função é a função nula. A qual, de fato é contínua e satisfaz a equação.
A outra opção é [tex3]f(0) =1[/tex3] .
Repare agora que [tex3]f(x) =f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0[/tex3] logo [tex3]f(x)[/tex3] nunca é negativa.
Seja então [tex3]f(1)= a >0[/tex3]
mostra-se por indução que [tex3]f(n) = a^n[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] natural:
de fato para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]f(1)=a[/tex3]
supondo que [tex3]f(n) =a^n[/tex3] para algum [tex3]n[/tex3] natural então [tex3]f(n+1) = f(1) f(n) = a \cdot a^n = a^{n+1}[/tex3] cqd.
logo [tex3]f(n) = a^n[/tex3] quando [tex3]n \in \mathbb N[/tex3]
agora prova-se por indução que [tex3]f( \sum_{i=1}^n x_i ) = \prod_{i=1}^nf(x_i)[/tex3]
de fato para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]f(x_1) = f(x_1)[/tex3]
supondo [tex3]f( \sum_{i=1}^n x_i ) = \prod_{i=1}^nf(x_i)[/tex3] então [tex3]f( \sum_{i=1}^{n+1} x_i ) =f( \sum_{i=1}^{n} x_i + x_{n+1} ) = f(x_{n+1}) \cdot \prod_{i=1}^nf(x_i) = \prod_{i=1}^{n+1}f(x_i) [/tex3]
então coloque [tex3]n[/tex3] e [tex3]x_i = \frac 1n[/tex3] e teremos [tex3]f(\frac n n) = f(\frac 1n)^n \implies f(\frac 1n) = a^{\frac1n][/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] natural.
Colocando [tex3]n =p[/tex3] e [tex3]x_i = \frac1q[/tex3] e terá [tex3]f(\frac p q) = a^{\frac pq}[/tex3] ou seja [tex3]f(x) = a^x[/tex3] se [tex3]x[/tex3] for racional.
Para extrapolar para os reais é fácil tome um número real qualquer [tex3]r[/tex3] . Ele é limite de uma sequência de racionais arbitrária [tex3]q_n[/tex3] . Como [tex3]f[/tex3] é contínua então [tex3]f(r) = f(\lim q_n) = \lim f(q_n) = \lim a^{q_n} = a^r[/tex3]
logo [tex3]f(x) =a^x[/tex3] para todo x real
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