Observe:
Solução
x² + ( y - 2 )² = 1
y = 2 ± √( 1 - x² )
Graficamente
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Daí;
[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(2+\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]
[tex3]V_{1}=π\int\limits_{-1}^{1}(5 - x^{2}+4\sqrt{1-x^{2} } )dx[/tex3]
[tex3]V_{1}= 2π\int\limits_{0}^{1}( 5 -x^{2} ) dx + 8π\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]
Para calcular :[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx[/tex3]
, faça;
x = sen u → dx = cos u du
Temos;
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int\limits_{}^{}\sqrt{1-sen^{2}u}cos\ u\ du[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}cos^{2}u\ du = \int\limits_{}^{}\frac{1+cos2u}{2}du = \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}[/tex3]
Logo;
[tex3]V_{1} = 2π.[ 5x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^
{1} + 8π[ \frac{u}{2} + \frac{sen2u}{4}]_{0}^
{\frac{π}{2}}[/tex3]
Calculando, resulta em;
[tex3]V_{1} = \frac{28π}{3}+2π^{2}[/tex3]
Agora , basta calcular o volume 2, segue o mesmo processo de resolução do volume 1, a única diferença é que você vai trabalhar com a função 2 - √( 1 - x² )
[tex3]V_{2}=π\int\limits_{-1}^{1}(2-\sqrt{1-x^{2} } )^{2}dx[/tex3]
Calculando, resulta em;
[tex3]V_{2} = \frac{28π}{3} - 2π^{2}[/tex3]
Portanto, o volume procurado é:
[tex3]V = V_{1} - V_{2}[/tex3]
[tex3]V = \frac{28π}{3} + 2π^{2} - \frac{28π}{3} + 2π^{2}[/tex3]
V = 4π² u.v.
Nota
[tex3]V = π.\int\limits_{a}^{b}[ f(x) ]^{2}dx[/tex3]
Como sen u = x, então;
Para x = 0 → u = 0
Para x = 1 → u = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]
Bons estudos!!