Ensino Superior ⇒ Derivadas, curso de analise real

[FelipeBaldim]

(15) Seja f : [0, ∞) → R deriváel em (0, [tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

), com f (0) > 0.
a) Se f' (x) → b ∈ R quando x → [tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

, mostre que para todo h > 0 fixo tem-se
lim( f (x + h) − f (x))/h=b
x→[tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

b) Se f (x) → a ∈ R e f' (x) → b ∈ R quando x → [tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

, então b = 0.
c) Se f' (x) → b ∈ R quando x → 0, então f(x)/x → [tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

quando x → 0.