Ensino Superior ⇒ Série infinita Tópico resolvido

[carolzinhag3]

No item abaixo, encontre a série infnita que produz a sequencia de somas parciais dada.

{sn} = [tex3]{\frac{2n}{3n+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\frac{2n}{3n+1}}[/tex3]

[Andre13000]

Veja, imagine que você queira produzir uma soma que se iguale uma certa expressão. Em particular:

[tex3]S_n=\sum_{k=1}^n f(k)[/tex3]

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[tex3]S_n=\sum_{k=1}^n f(k)[/tex3]

Veja que [tex3]S_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}f(k)[/tex3]

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[tex3]S_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}f(k)[/tex3]

, donde portanto

[tex3]S_{n+1}-S_n=f(n)[/tex3]

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[tex3]S_{n+1}-S_n=f(n)[/tex3]

Essa é a recorrência característica para essa soma qualquer. Portanto [tex3]f(n)[/tex3]

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[tex3]f(n)[/tex3]

é facilmente definido, veja:

[tex3]S_n=\frac{2n}{3n+1}\\
S_{n+1}-S_n=\frac{2n+2}{3n+4}-\frac{2n}{3n+1}=\frac{2}{9n^2+15n+4}[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{2n}{3n+1}\\
S_{n+1}-S_n=\frac{2n+2}{3n+4}-\frac{2n}{3n+1}=\frac{2}{9n^2+15n+4}[/tex3]

Portanto [tex3]S_n=\sum_{k=1}^n \frac{2}{9n^2+15n+4}[/tex3]

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[tex3]S_n=\sum_{k=1}^n \frac{2}{9n^2+15n+4}[/tex3]

E obviamente o limite seria 2/3.