Resposta
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1 [/tex3]
Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido
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Mar 2018
17
15:32
Derivada
Achar a equação da reta tangente à curva [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]
no ponto (α , β)
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1 [/tex3]
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1 [/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Qui 14 Mai, 2020 15:52). Total de 1 vez.
Razão: arrumar tex.
Razão: arrumar tex.
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Cardoso1979 - Mensagens: 4008
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Mai 2020
14
15:45
Re: Derivada
Observe
Solução:
Foi dada a curva [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] , segue que
b²x² - a²y² = a²b²
Derivando implicitamente em relação a x, temos que
( b²x² )' - ( a²y² )' = ( a²b² )'
2xb² - 2ya².y' = 0
Logo,
[tex3]y'=\frac{xb^2}{ya^2}[/tex3]
Como o autor está pedindo a reta tangente à curva dada no ponto ( α , β ) , então,
[tex3]y'=\frac{\alpha b^2}{\beta a^2}[/tex3] → coeficiente angular da reta tangente à curva dada.
A reta tangente à curva dada no ponto ( α , β ) é :
y - [tex3]y_{0}[/tex3] = y'.( x - [tex3]x_{0}[/tex3] )
[tex3]y-\beta =\frac{\alpha b^2}{\beta a^2}.(x-\alpha ) [/tex3]
[tex3]\beta a^2y-\beta ^2a^2=\alpha b^2x-\alpha ^2b^2[/tex3]
[tex3]\alpha b^2x-\beta a^2y=\alpha^2b^2 -\beta ^2a^2 \ ÷ a^2b^2[/tex3]
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=\frac{\alpha^2}{a^2} -\frac{\beta ^2}{b^2} [/tex3]
Mas,
[tex3]\frac{\alpha^2}{a^2} -\frac{\beta ^2}{b^2} =1[/tex3] ( resultado obtido ao substituir o ponto ( α , β ) na curva dada ).
Então,
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1[/tex3]
Portanto , a equação da reta tangente à curva [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] no ponto ( α , β ) é [tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1 [/tex3] .
Bons estudos!
Solução:
Foi dada a curva [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] , segue que
b²x² - a²y² = a²b²
Derivando implicitamente em relação a x, temos que
( b²x² )' - ( a²y² )' = ( a²b² )'
2xb² - 2ya².y' = 0
Logo,
[tex3]y'=\frac{xb^2}{ya^2}[/tex3]
Como o autor está pedindo a reta tangente à curva dada no ponto ( α , β ) , então,
[tex3]y'=\frac{\alpha b^2}{\beta a^2}[/tex3] → coeficiente angular da reta tangente à curva dada.
A reta tangente à curva dada no ponto ( α , β ) é :
y - [tex3]y_{0}[/tex3] = y'.( x - [tex3]x_{0}[/tex3] )
[tex3]y-\beta =\frac{\alpha b^2}{\beta a^2}.(x-\alpha ) [/tex3]
[tex3]\beta a^2y-\beta ^2a^2=\alpha b^2x-\alpha ^2b^2[/tex3]
[tex3]\alpha b^2x-\beta a^2y=\alpha^2b^2 -\beta ^2a^2 \ ÷ a^2b^2[/tex3]
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=\frac{\alpha^2}{a^2} -\frac{\beta ^2}{b^2} [/tex3]
Mas,
[tex3]\frac{\alpha^2}{a^2} -\frac{\beta ^2}{b^2} =1[/tex3] ( resultado obtido ao substituir o ponto ( α , β ) na curva dada ).
Então,
[tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1[/tex3]
Portanto , a equação da reta tangente à curva [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] no ponto ( α , β ) é [tex3]\frac{\alpha x}{a^2}-\frac{\beta y}{b^2}=1 [/tex3] .
Bons estudos!
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