Ensino Superior ⇒ homomofismo questão 16 Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Seja [tex3]f:G_{1}\rightarrow G_{2}[/tex3]

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[tex3]f:G_{1}\rightarrow G_{2}[/tex3]

um homomorfismo de grupos, onde [tex3]G_{2}[/tex3]

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[tex3]G_{2}[/tex3]

é um grupo abeliano. Mostre que todos os subgrupos de [tex3]G_{1}[/tex3]

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[tex3]G_{1}[/tex3]

que contêm [tex3]ker[/tex3]

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[tex3]ker[/tex3]

[tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

são subgrupos normais em [tex3]G_{1}[/tex3]

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[tex3]G_{1}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

Demonstração

Sejam a [tex3]\in G_{1} [/tex3]

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[tex3]\in G_{1} [/tex3]

e n [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

N = ker(f) , temos:

[tex3]f(ana^{-1}) = f(a)f(n)f(a^{-1}) = f(a)f(a)^{-1} = e_{G_{2}}[/tex3]

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[tex3]f(ana^{-1}) = f(a)f(n)f(a^{-1}) = f(a)f(a)^{-1} = e_{G_{2}}[/tex3]

.

Logo [tex3]ana^{-1} \in N, aNa^{-1} \subset N[/tex3]

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[tex3]ana^{-1} \in N, aNa^{-1} \subset N[/tex3]

portanto N é normal em [tex3]G_{1}[/tex3]

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[tex3]G_{1}[/tex3]

. c.q.m.


Bons estudos!