Ensino Superior ⇒ Integral de superfície Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Calcule a integral de superficie [tex3]\int\limits\int\limits_{s}F.\vec{ds}[/tex3]

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[tex3]\int\limits\int\limits_{s}F.\vec{ds}[/tex3]

, utilizando o teorema da Divergência, sendo [tex3]\vec{F}(x,y,z)=e^{x}sinyi+e^{x}cosyj+yz^{2}k[/tex3]

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[tex3]\vec{F}(x,y,z)=e^{x}sinyi+e^{x}cosyj+yz^{2}k[/tex3]

, s é a superfície da caixa delimitada pelos planos [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

, [tex3]x=1[/tex3]

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[tex3]x=1[/tex3]

, [tex3]y=0[/tex3]

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[tex3]y=0[/tex3]

,[tex3]y=1[/tex3]

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[tex3]y=1[/tex3]

,[tex3]z=0[/tex3]

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[tex3]z=0[/tex3]

e [tex3]z=2[/tex3]

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[tex3]z=2[/tex3]

Se der, por favor desenhar a superfície da caixa delimitada pelos planos citados acima

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

16073003979788312570429519090520.jpg (24.06 KiB) Exibido 347 vezes

Cálculo do divergente

[tex3]div \ F =\frac{\partial }{\partial x}(e^x.sen(y))+\frac{\partial }{\partial y}(e^x.cos(y))+\frac{\partial }{\partial z}(yz^2)=e^x.sen(y)-e^x.sen(y)+2yz[/tex3]

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[tex3]div \ F =\frac{\partial }{\partial x}(e^x.sen(y))+\frac{\partial }{\partial y}(e^x.cos(y))+\frac{\partial }{\partial z}(yz^2)=e^x.sen(y)-e^x.sen(y)+2yz[/tex3]

div F = 2yz

Portanto, usamos o teorema do divergente para transformar a integral da superfície dada em uma integral tripla. O modo mais prático de calcular a integral tripla é escrever E como uma região do tipo 1 , ou seja

E = { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 2 }

Assim, temos

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}F.dS = [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}F.dS = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{E}^{}\int\limits_{}^{}div \ F \ dV = [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{E}^{}\int\limits_{}^{}div \ F \ dV = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{E}^{}\int\limits_{}^{} 2yz \ dV = [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{E}^{}\int\limits_{}^{} 2yz \ dV = [/tex3]

[tex3]2. \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}
^{2} yz \ dzdydx = 2[/tex3]

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[tex3]2. \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}
^{2} yz \ dzdydx = 2[/tex3]

Obs. O que acabamos de determinar, foi o fluxo do campo vetorial.


Excelente estudo!