Ensino Superior

Considere um subconjunto [tex3]S[/tex3] ={[tex3](x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x=3y \ e \ y=-z[/tex3] }

a) Mostre que [tex3]S[/tex3] é um subespaço vetorial do [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

b) Determine a dimensão e uma base de [tex3]S[/tex3]

Vamos lá:

O vetor é do [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] e com a restrição:
[tex3](x,y,z)= (3y,y,-y) = y(3,1,-1)[/tex3]

Portanto se S for S.V então: [tex3]dim(S) =1[/tex3] .
Tal que: [tex3]\beta = \{(3,1,-1)\}[/tex3] seria uma base para S.

Mas, antes vamos verificar se S é S.V:
a)
i) Elemento nulo pertece ao conjunto S?
Tome: [tex3]y=0[/tex3] .
Teremos: [tex3](3.0, 0, 0) = (0,0,0)[/tex3] ...OK

ii)
Sejam dois vetores de S e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] , tal que:
[tex3]u = (3y,y,-y)[/tex3]
[tex3]v = (3y',y',-y')[/tex3]

Verificamos se o conjunto é fechado pela soma e multiplicação por escalares.
Queremos verificar que [tex3]u + \lambda v \in S[/tex3] :

[tex3]u+\lambda v = (3y,y,-y) + (3\lambda y',\lambda y', -\lambda y') = (3y+3\lambda y', y+\lambda y', -y -\lambda y') [/tex3]

Comparando com as restrições de S:
[tex3]x^* = 3(y+\lambda y')[/tex3]
[tex3]y^*=y+\lambda y'[/tex3]
[tex3]z^* = -(y +\lambda y)'[/tex3]

Repare que: [tex3]\boxed{x^* = 3y^*}[/tex3] e [tex3]\boxed{z^* = -y^*}[/tex3]

Logo, [tex3]u+\lambda v \in S[/tex3] . Portanto S é fechado pela soma e multiplicação por escalar. Logo S é S.V

b) Como S é S.V, já vimos que uma base para S é: [tex3]\beta = \{(3,1,-1)\}[/tex3] que tem dimensão 1.
Ou seja, S é uma reta no espaço [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] que passa pelo ponto (0,0,0).

Tal que: [tex3]S = span\{(3,1,-1)\}[/tex3]

Ensino Superior ⇒ Base de um espaço vetorial

Base de um espaço vetorial

Re: Base de um espaço vetorial

Ensino Superior ⇒ Base de um espaço vetorial

Base de um espaço vetorial

Re: Base de um espaço vetorial

Entrar • Registrar