Ensino Superior ⇒ Volume Máximo de uma Caixa

[15101097]

Um tanque de armazenamento ou de armazenagem, o qual também é designado por reservatório, é um recipiente destinado a armazenar fluidos à pressão atmosférica ou pressões superiores a ela. Na indústria de processo, a maior parte dos tanques de armazenamento são construídos para armazenar líquidos.
Assim sendo, sabe-se que uma indústria possui tanques de armazenamento de fluidos (efluentes líquidos) e um deles precisa, com urgência, de um revestimento antioxidante, que é realizado com tintas especiais, para evitar o desgaste e a corrosão. O responsável da empresa prestadora do serviço informou que o trabalho custaria R$ 50,00/m². Considerando o tanque como uma “caixa” de base quadrada, calcule o volume máximo do tanque em questão se o processo de seu revestimento custou R$ 4.800,00.

Utilize os multiplicadores de Lagrange para esse problema de maximização.

[Planck]

Olá, 15101097.

O volume da “caixa” pode ser dado por [tex3]f(\ell, \text h)=\text V = \ell^2 ~\text h[/tex3]

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[tex3]f(\ell, \text h)=\text V = \ell^2 ~\text h[/tex3]

e a área total da caixa pode ser dada por [tex3]g(\ell, \text h)=\text A = 2 \ell^2 + 4\ell ~ \text h = 96.[/tex3]

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[tex3]g(\ell, \text h)=\text A = 2 \ell^2 + 4\ell ~ \text h = 96.[/tex3]

Agora, pelos Multiplicadores de Lagrange, podemos fazer que:

[tex3]\begin{align}\nabla f(\ell,\text h ) &= \lambda \nabla g(\ell, \text h) \\ \\ \(2\ell \text h, \ell^2\) &= \lambda\(4\ell + 4\text h, 4\ell\)

\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}\nabla f(\ell,\text h ) &= \lambda \nabla g(\ell, \text h) \\ \\ \(2\ell \text h, \ell^2\) &= \lambda\(4\ell + 4\text h, 4\ell\)

\end{align}[/tex3]

Agora, podemos fazer que:

[tex3]\begin{cases}\begin{align}
2\ell \text h &= \lambda \(4 \ell + 4 \text h\) \\ \\
\ell^2 &=\lambda \( 4\ell\)

\end{align}\end{cases} \, \, \implies \,\, \lambda =\frac{\ell}{4} [/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\begin{align}
2\ell \text h &= \lambda \(4 \ell + 4 \text h\) \\ \\
\ell^2 &=\lambda \( 4\ell\)

\end{align}\end{cases} \, \, \implies \,\, \lambda =\frac{\ell}{4} [/tex3]

Substituindo o valor de lambda na primeira equação, vem que [tex3]\text h = \ell.[/tex3]

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[tex3]\text h = \ell.[/tex3]

Substituindo na equação da área:

[tex3]g(\ell, \ell) =2 \ell^2 + 4\ell^2 = 96[/tex3]

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[tex3]g(\ell, \ell) =2 \ell^2 + 4\ell^2 = 96[/tex3]

Disso, vem que [tex3]\ell = \text h = 4 \text{ m}.[/tex3]

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[tex3]\ell = \text h = 4 \text{ m}.[/tex3]

Agora, na fórmula do volume, ficamos com:

[tex3]f(4,4) = \text V = 4^2 \cdot 4 = 64 \text{ m}^3[/tex3]

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[tex3]f(4,4) = \text V = 4^2 \cdot 4 = 64 \text{ m}^3[/tex3]