Um tanque de armazenamento ou de armazenagem, o qual também é designado por reservatório, é um recipiente destinado a armazenar fluidos à pressão atmosférica ou pressões superiores a ela. Na indústria de processo, a maior parte dos tanques de armazenamento são construídos para armazenar líquidos.
Assim sendo, sabe-se que uma indústria possui tanques de armazenamento de fluidos (efluentes líquidos) e um deles precisa, com urgência, de um revestimento antioxidante, que é realizado com tintas especiais, para evitar o desgaste e a corrosão. O responsável da empresa prestadora do serviço informou que o trabalho custaria R$ 50,00/m². Considerando o tanque como uma “caixa” de base quadrada, calcule o volume máximo do tanque em questão se o processo de seu revestimento custou R$ 4.800,00.
Utilize os multiplicadores de Lagrange para esse problema de maximização.
Ensino Superior ⇒ Volume Máximo de uma Caixa
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2020
04
17:07
Re: Volume Máximo de uma Caixa
Olá, 15101097.
O volume da “caixa” pode ser dado por [tex3]f(\ell, \text h)=\text V = \ell^2 ~\text h[/tex3] e a área total da caixa pode ser dada por [tex3]g(\ell, \text h)=\text A = 2 \ell^2 + 4\ell ~ \text h = 96.[/tex3] Agora, pelos Multiplicadores de Lagrange, podemos fazer que:
Agora, podemos fazer que:
Substituindo o valor de lambda na primeira equação, vem que [tex3]\text h = \ell.[/tex3] Substituindo na equação da área:
Disso, vem que [tex3]\ell = \text h = 4 \text{ m}.[/tex3] Agora, na fórmula do volume, ficamos com:
O volume da “caixa” pode ser dado por [tex3]f(\ell, \text h)=\text V = \ell^2 ~\text h[/tex3] e a área total da caixa pode ser dada por [tex3]g(\ell, \text h)=\text A = 2 \ell^2 + 4\ell ~ \text h = 96.[/tex3] Agora, pelos Multiplicadores de Lagrange, podemos fazer que:
[tex3]\begin{align}\nabla f(\ell,\text h ) &= \lambda \nabla g(\ell, \text h) \\ \\ \(2\ell \text h, \ell^2\) &= \lambda\(4\ell + 4\text h, 4\ell\)
\end{align}[/tex3]
\end{align}[/tex3]
Agora, podemos fazer que:
[tex3]\begin{cases}\begin{align}
2\ell \text h &= \lambda \(4 \ell + 4 \text h\) \\ \\
\ell^2 &=\lambda \( 4\ell\)
\end{align}\end{cases} \, \, \implies \,\, \lambda =\frac{\ell}{4} [/tex3]
2\ell \text h &= \lambda \(4 \ell + 4 \text h\) \\ \\
\ell^2 &=\lambda \( 4\ell\)
\end{align}\end{cases} \, \, \implies \,\, \lambda =\frac{\ell}{4} [/tex3]
Substituindo o valor de lambda na primeira equação, vem que [tex3]\text h = \ell.[/tex3] Substituindo na equação da área:
[tex3]g(\ell, \ell) =2 \ell^2 + 4\ell^2 = 96[/tex3]
Disso, vem que [tex3]\ell = \text h = 4 \text{ m}.[/tex3] Agora, na fórmula do volume, ficamos com:
[tex3]f(4,4) = \text V = 4^2 \cdot 4 = 64 \text{ m}^3[/tex3]
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