Não possuo Gabarito
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Ensino Superior ⇒ Geometria Analitica - Vectores Tópico resolvido
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Ronny
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Fev 2018
28
20:05
Geometria Analitica - Vectores
Seja [tex3]u [/tex3]
e [tex3]v [/tex3]
dois vectores. Expresse o quadrado da norma de [tex3]u+v[/tex3]
e o quadrado da norma de [tex3]u-v[/tex3]
em termos de produto escalar e determine a formula para expressar o produto escalar em termos de norma de [tex3]u+v[/tex3]
e norma [tex3]u-v[/tex3]
.
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PedroCosta
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Mar 2018
02
01:02
Re: Geometria Analitica - Vectores
[tex3](\vec{u}+\vec{v})\bullet(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\bullet \vec{u}+2\vec{u}\bullet \vec{v} +\vec{v}\bullet \vec{v}\\
\vec{u}\bullet \vec{v} =\frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2}{2}[/tex3] (i)
Similar para o outro caso:
[tex3](\vec{u}-\vec{v})\bullet(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}\bullet \vec{u}-2\vec{u}\bullet \vec{v} +\vec{v}\bullet \vec{v}\\
\vec{u}\bullet \vec{v} =-\frac{|\vec{u}-\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2}{2}[/tex3] (ii)
Somando (i) e (ii) e realizando as devidas operações:
[tex3]\vec{u}\bullet \vec{v} = \frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2 -|\vec{u}-\vec{v}|^2}{4} [/tex3]
\vec{u}\bullet \vec{v} =\frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2}{2}[/tex3] (i)
Similar para o outro caso:
[tex3](\vec{u}-\vec{v})\bullet(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}\bullet \vec{u}-2\vec{u}\bullet \vec{v} +\vec{v}\bullet \vec{v}\\
\vec{u}\bullet \vec{v} =-\frac{|\vec{u}-\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2}{2}[/tex3] (ii)
Somando (i) e (ii) e realizando as devidas operações:
[tex3]\vec{u}\bullet \vec{v} = \frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2 -|\vec{u}-\vec{v}|^2}{4} [/tex3]
Editado pela última vez por PedroCosta em 02 Mar 2018, 12:23, em um total de 1 vez.
"Se vai tentar, vá até o fim.
Caso contrário, nem comece.
Se vai tentar, vá até o fim.
Pode perder namoradas, esposas, parentes, empregos e talvez até a cabeça.
Vá até o fim."
Charles Bukowski
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Ronny
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Mar 2018
02
10:28
Re: Geometria Analitica - Vectores
Como se chega na formula (i)? pensei qu esse produto resultasse em |u|^2 + 2.u.v + |v|^2
-
PedroCosta
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Mar 2018
02
12:15
Re: Geometria Analitica - Vectores
Você tem toda razão. Não sei onde estava com a cabeça. Já vou editar.
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lorramrj
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Mar 2018
02
12:48
Re: Geometria Analitica - Vectores
#OPA!...Foi mal não tinha visto que o Pedro tinha respondido!
Vou deixar apenas pela notação utilizada de produto escalar utilizada que são diferentes.
Bom eu não entendi o enunciado no sentido de deixar em função do produto escalar de [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] ou do produto escalar [tex3]u+v[/tex3] ou [tex3]u-v[/tex3] .
Pelo o que me parece, a questão quer uma fóruma geral para calcular o produto escalar de [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] em função de [tex3]u + v[/tex3] e [tex3]u-v[/tex3] .
A norma de um vetor w é dado por:
[tex3]|w| = \sqrt{< w,w>} \rightarrow \boxed{|w|^2 = < w, w>}[/tex3]
Logo:
[tex3]|u+v|^2 = < u+v, u+v> =< u, u> + < u,v > + < v, u> + < v, v> = |u|^2 + 2< u,v> + |v|^2[/tex3]
[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{|u+v|^2 - |u|^2-|v|^2}{2}}[/tex3]
Logo:
[tex3]|u-v|^2 = < u-v, u-v> =< u, u> + < u,-v > + < -v, u> + < -v,- v> = |u|^2 - 2< u,v> + |v|^2[/tex3]
[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{ |u|^2+|v|^2 - |u-v|^2}{2}}[/tex3]
... Agora basta somar as funções e chegamos em:
[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{ |u+v|^2 - |u-v|^2}{4}}[/tex3]
Vou deixar apenas pela notação utilizada de produto escalar utilizada que são diferentes.
Bom eu não entendi o enunciado no sentido de deixar em função do produto escalar de [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] ou do produto escalar [tex3]u+v[/tex3] ou [tex3]u-v[/tex3] .
Pelo o que me parece, a questão quer uma fóruma geral para calcular o produto escalar de [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] em função de [tex3]u + v[/tex3] e [tex3]u-v[/tex3] .
A norma de um vetor w é dado por:
[tex3]|w| = \sqrt{< w,w>} \rightarrow \boxed{|w|^2 = < w, w>}[/tex3]
Logo:
[tex3]|u+v|^2 = < u+v, u+v> =< u, u> + < u,v > + < v, u> + < v, v> = |u|^2 + 2< u,v> + |v|^2[/tex3]
[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{|u+v|^2 - |u|^2-|v|^2}{2}}[/tex3]
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[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{ |u|^2+|v|^2 - |u-v|^2}{2}}[/tex3]
... Agora basta somar as funções e chegamos em:
[tex3]\boxed{< u,v> = \frac{ |u+v|^2 - |u-v|^2}{4}}[/tex3]
Editado pela última vez por lorramrj em 02 Mar 2018, 12:56, em um total de 7 vezes.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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