Não possuo Gabarito
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Geometria Analitica - Vectores Tópico resolvido
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Ronny
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Fev 2018
28
20:02
Geometria Analitica - Vectores
Seja [tex3]u[/tex3]
, [tex3]v [/tex3]
dois vectores, considere o vector [tex3]w [/tex3]
igual [tex3]||v||u+||u||v[/tex3]
. Mostra que [tex3]w [/tex3]
divide o angulo entre [tex3]u [/tex3]
e [tex3]v [/tex3]
em duas partes iguais.
Editado pela última vez por Ronny em 28 Fev 2018, 20:03, em um total de 1 vez.
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Vonrondow
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Mar 2018
01
16:19
Re: Geometria Analitica - Vectores
Eu raciocinei da seguinte forma:
Seja o ângulo entre u e v igual a [tex3]\theta [/tex3]
, então o vetor o vetor bissetriz w irá dividir o ângulo [tex3]\theta [/tex3]
em duas partes iguais.
Logo a projeção paralela de w em v e u será de módulo igual para ambos, assim basta provar isso:
[tex3]||v||.||w||cos\frac{\theta }{2}=v.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{v.w}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{v.w}{||v||}=\frac{v.(||v||u+||u||v)}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}.||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
[tex3]||u||.||w||cos\frac{\theta }{2}=u.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{u.w}{||u||}[/tex3]
[tex3]\frac{u.w}{||u||}=\frac{u.(||u||v+||v||u)}{||u||}=\frac{||u||u.v+||v||.||u||^{2}}{||u||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||u||^{2}.||v||.cos\theta +||u||^{2}.||v||}{||u||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
Conclui-se então que o módulo de [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}[/tex3] é igual em ambos os vetores u e v e satisfaz a preposição de que o vetor w divide o ângulo formado entre u e v em duas partes iguais.
- Sem título 2.png (23.7 KiB) Exibido 894 vezes
Logo a projeção paralela de w em v e u será de módulo igual para ambos, assim basta provar isso:
[tex3]||v||.||w||cos\frac{\theta }{2}=v.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{v.w}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{v.w}{||v||}=\frac{v.(||v||u+||u||v)}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}.||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
[tex3]||u||.||w||cos\frac{\theta }{2}=u.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{u.w}{||u||}[/tex3]
[tex3]\frac{u.w}{||u||}=\frac{u.(||u||v+||v||u)}{||u||}=\frac{||u||u.v+||v||.||u||^{2}}{||u||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||u||^{2}.||v||.cos\theta +||u||^{2}.||v||}{||u||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
Conclui-se então que o módulo de [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}[/tex3] é igual em ambos os vetores u e v e satisfaz a preposição de que o vetor w divide o ângulo formado entre u e v em duas partes iguais.
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Ronny
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Mar 2018
02
00:14
Re: Geometria Analitica - Vectores
Primeiramente obrigado, percebi todo o seu Raciocinio !!! Mas, so nao entendo na parte em que voce fazia ||v||.||u||,cos O, porque derepente ja aparece esse cos O?
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Vonrondow
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Mar 2018
02
13:19
Re: Geometria Analitica - Vectores
Por nada! Vou te mostrar, vc tem [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{w.v}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{w.v}{||v||}=\frac{(||v||u+||u||v).v}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}[/tex3]
A partir daí, vc calcula o produto escalar entre u.v e v.v, [tex3]u.v=||u||.||v||.cos\theta[/tex3] e [tex3]v.v=||v||^{2}[/tex3]
Logo, fica da seguinte forma:
[tex3]\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}=\frac{||v||.||u||.||v||.cos\theta +||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||=[/tex3]
[tex3]||v||.||u||(1+cos\theta )[/tex3] com [tex3]cos\theta [/tex3] variando de [-1,1].
O mesmo vale para w.u
[tex3]\frac{w.v}{||v||}=\frac{(||v||u+||u||v).v}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}[/tex3]
A partir daí, vc calcula o produto escalar entre u.v e v.v, [tex3]u.v=||u||.||v||.cos\theta[/tex3] e [tex3]v.v=||v||^{2}[/tex3]
Logo, fica da seguinte forma:
[tex3]\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}=\frac{||v||.||u||.||v||.cos\theta +||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||=[/tex3]
[tex3]||v||.||u||(1+cos\theta )[/tex3] com [tex3]cos\theta [/tex3] variando de [-1,1].
O mesmo vale para w.u
Editado pela última vez por Vonrondow em 02 Mar 2018, 13:25, em um total de 1 vez.
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