Não possuo Gabarito
Ensino Superior ⇒ Geometria Analitica - Vectores Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
28
20:02
Geometria Analitica - Vectores
Seja [tex3]u[/tex3]
, [tex3]v [/tex3]
dois vectores, considere o vector [tex3]w [/tex3]
igual [tex3]||v||u+||u||v[/tex3]
. Mostra que [tex3]w [/tex3]
divide o angulo entre [tex3]u [/tex3]
e [tex3]v [/tex3]
em duas partes iguais.
Última edição: Ronny (Qua 28 Fev, 2018 20:03). Total de 1 vez.
Mar 2018
01
16:19
Re: Geometria Analitica - Vectores
Eu raciocinei da seguinte forma:
Seja o ângulo entre u e v igual a [tex3]\theta [/tex3]
, então o vetor o vetor bissetriz w irá dividir o ângulo [tex3]\theta [/tex3]
em duas partes iguais.
Logo a projeção paralela de w em v e u será de módulo igual para ambos, assim basta provar isso:
[tex3]||v||.||w||cos\frac{\theta }{2}=v.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{v.w}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{v.w}{||v||}=\frac{v.(||v||u+||u||v)}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}.||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
[tex3]||u||.||w||cos\frac{\theta }{2}=u.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{u.w}{||u||}[/tex3]
[tex3]\frac{u.w}{||u||}=\frac{u.(||u||v+||v||u)}{||u||}=\frac{||u||u.v+||v||.||u||^{2}}{||u||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||u||^{2}.||v||.cos\theta +||u||^{2}.||v||}{||u||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
Conclui-se então que o módulo de [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}[/tex3] é igual em ambos os vetores u e v e satisfaz a preposição de que o vetor w divide o ângulo formado entre u e v em duas partes iguais.
- Sem título 2.png (23.7 KiB) Exibido 888 vezes
Logo a projeção paralela de w em v e u será de módulo igual para ambos, assim basta provar isso:
[tex3]||v||.||w||cos\frac{\theta }{2}=v.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{v.w}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{v.w}{||v||}=\frac{v.(||v||u+||u||v)}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}.||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
[tex3]||u||.||w||cos\frac{\theta }{2}=u.w\rightarrow ||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{u.w}{||u||}[/tex3]
[tex3]\frac{u.w}{||u||}=\frac{u.(||u||v+||v||u)}{||u||}=\frac{||u||u.v+||v||.||u||^{2}}{||u||}=[/tex3]
[tex3]=\frac{||u||^{2}.||v||.cos\theta +||u||^{2}.||v||}{||u||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||[/tex3]
Conclui-se então que o módulo de [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}[/tex3] é igual em ambos os vetores u e v e satisfaz a preposição de que o vetor w divide o ângulo formado entre u e v em duas partes iguais.
Mar 2018
02
00:14
Re: Geometria Analitica - Vectores
Primeiramente obrigado, percebi todo o seu Raciocinio !!! Mas, so nao entendo na parte em que voce fazia ||v||.||u||,cos O, porque derepente ja aparece esse cos O?
Mar 2018
02
13:19
Re: Geometria Analitica - Vectores
Por nada! Vou te mostrar, vc tem [tex3]||w||cos\frac{\theta }{2}=\frac{w.v}{||v||}[/tex3]
[tex3]\frac{w.v}{||v||}=\frac{(||v||u+||u||v).v}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}[/tex3]
A partir daí, vc calcula o produto escalar entre u.v e v.v, [tex3]u.v=||u||.||v||.cos\theta[/tex3] e [tex3]v.v=||v||^{2}[/tex3]
Logo, fica da seguinte forma:
[tex3]\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}=\frac{||v||.||u||.||v||.cos\theta +||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||=[/tex3]
[tex3]||v||.||u||(1+cos\theta )[/tex3] com [tex3]cos\theta [/tex3] variando de [-1,1].
O mesmo vale para w.u
[tex3]\frac{w.v}{||v||}=\frac{(||v||u+||u||v).v}{||v||}=\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}[/tex3]
A partir daí, vc calcula o produto escalar entre u.v e v.v, [tex3]u.v=||u||.||v||.cos\theta[/tex3] e [tex3]v.v=||v||^{2}[/tex3]
Logo, fica da seguinte forma:
[tex3]\frac{||v||u.v+||u||v.v}{||v||}=\frac{||v||.||u||.||v||.cos\theta +||u||.||v||^{2}}{||v||}=[/tex3]
[tex3]\frac{||v||^{2}.||u||.cos\theta +||v||^{2}||u||}{||v||}=||v||.||u||.cos\theta +||v||.||u||=[/tex3]
[tex3]||v||.||u||(1+cos\theta )[/tex3] com [tex3]cos\theta [/tex3] variando de [-1,1].
O mesmo vale para w.u
Última edição: Vonrondow (Sex 02 Mar, 2018 13:25). Total de 1 vez.
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