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Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Seg 26 Fev, 2018 20:58
por Ronny
Sejam [tex3]P_{\leq 2}[x][/tex3]
o espaco vectorial real dos polinomios de grau menor ou igual a dois com coeficientes reais e a transformacao [tex3]f:P_{\leq 2}[x]\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3]
definida por:
[tex3]f(ax^2+bx+c)=(a+b;c)[/tex3]
Determine se [tex3]f[/tex3]
'e uma transformacao linear.
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Seg 26 Fev, 2018 21:28
por lorramrj
>>> RESPOSTA CORRIGIDA!
Para ser linear.
i) Verificamos a existência do elemento nulo.
Tomamos [tex3]a=b=c=0[/tex3]
Logo: [tex3]f(0) = (0+0,0) = (0,0) [/tex3]
OK
ii) Sejam [tex3]p_1[/tex3]
e [tex3]p_2[/tex3]
elementos do domínio de [tex3]f[/tex3]
e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3]
.
Verificamos se f é fechado pela soma e pela multiplicação por escalares:
[tex3]\boxed{f(p1+\lambda p2) = f(p1) + \lambda f (p_2)}[/tex3]
Onde:
[tex3]p_1 = a_1x^2+b_1x+c_1[/tex3]
[tex3]p_2 = a_2x^2+b_2x+c_2[/tex3]
Primeiro achamos o polinômio resultante que queremos aplicar a transformação.
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1x^2+b_1x +c_1) + \lambda(a_2x^2+b_2x+c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a_1x^2+ \lambda a_2x^2 + b_1x + \lambda b_2x +c_1 + \lambda c_2 [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1+\lambda a_2)x^2 + (b_1 +\lambda b_2)x + (c_1+\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a'x^2 + b'x + c'[/tex3]
Logo esperemos que:
[tex3]f(a'x^2+b'x + c')=(a'+b',c')[/tex3]
Então verificamos o lado direito do que queremos provar:
Logo:
[tex3]f(p1+\lambda p2) = (a_1+b_1,c_1) + (\lambda a_2+\lambda b_2,\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]f(a'x^2+b'x+c') = (a_1+\lambda a_2 + b_1+ \lambda b_2, c_1+\lambda c_2) = (a' +b', c')[/tex3]
Portanto [tex3]f[/tex3]
é uma TL.
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Ter 27 Fev, 2018 05:12
por Ronny
vc e o cara !! obrigadao !!
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Ter 27 Fev, 2018 13:52
por lorramrj
Me desculpe Ronny cometi alguns erros na segunda parte da resolução. Agora já corrigida!
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Ter 27 Fev, 2018 17:18
por Ronny
Normalmente, quando resolvo esse tipo de transformacao nao uso essa formulinha, minha duvida e: Essa forma de provar essa aplicacao linear e quando temos casos de polinomios? Normalmente os exercicios que acho sao tipo T(x,y)= (x+y, y), prove que e uma transformacao linear, mas quando vi dessa maneira, fiquei muito confuso, e saiu num teste meu
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Enviado: Ter 27 Fev, 2018 18:11
por lorramrj
Bom essa forma prova para qualquer espaço que você estiver trabalhando (seja polinômio, vetores, matrizes e etc...)
Se provamos que o elemento nulo do domínio é levado ao elemento nulo do contradomínio pela transformação e provamos que a transformação é fechada pela soma e multiplicação por um escalar, então provamos que se trata de uma Transformação Linear.
Nesse caso temos:
[tex3]T(x,y)= (x+y, y)[/tex3]
i) Existência do elemento neutro: tome [tex3]x=y=0[/tex3]
[tex3]T(0,0)=(0+0,0)=(0,0)...[/tex3]
OK
ii) Seja [tex3]\vec{u}[/tex3]
e [tex3]\vec{v}[/tex3]
dos elementos do domínio de T e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3]
.
Tal que:
[tex3]\vec{v} =(x_1,y_1)[/tex3]
[tex3]\vec{u} =(x_2,y_2)[/tex3]
Queremos provar que: [tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
Temos:
[tex3]u+ \lambda v = (x_1,y_1)+ \lambda(x_2,y_2) = (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo queremos achar pela TL:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2) = (x_1+\lambda x_2 +y_1+\lambda y_2,\space y_1+\lambda y_2)=(x_1+y_1+\lambda(x_2+y_2),y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo desenvolvendo o lado direito da igualdade acima:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1+y_1,y_1) +\lambda(x_2+y_2,y_2)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1 + y_1 + \lambda(x_2+y_2), \space y_1 + \lambda y_2)[/tex3]
Portanto T é uma TL.