[tex3]f(ax^2+bx+c)=(a+b;c)[/tex3]
Determine se [tex3]f[/tex3] 'e uma transformacao linear.
Não possuo Gabarito
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Algebra Linear II - Transformacao Linear Tópico resolvido
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Ronny
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Fev 2018
26
20:58
Algebra Linear II - Transformacao Linear
Sejam [tex3]P_{\leq 2}[x][/tex3]
o espaco vectorial real dos polinomios de grau menor ou igual a dois com coeficientes reais e a transformacao [tex3]f:P_{\leq 2}[x]\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3]
definida por:
[tex3]f(ax^2+bx+c)=(a+b;c)[/tex3]
Determine se [tex3]f[/tex3] 'e uma transformacao linear.
[tex3]f(ax^2+bx+c)=(a+b;c)[/tex3]
Determine se [tex3]f[/tex3] 'e uma transformacao linear.
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lorramrj
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Fev 2018
26
21:28
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
>>> RESPOSTA CORRIGIDA!
Para ser linear.
i) Verificamos a existência do elemento nulo.
Tomamos [tex3]a=b=c=0[/tex3]
Logo: [tex3]f(0) = (0+0,0) = (0,0) [/tex3] OK
ii) Sejam [tex3]p_1[/tex3] e [tex3]p_2[/tex3] elementos do domínio de [tex3]f[/tex3] e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] .
Verificamos se f é fechado pela soma e pela multiplicação por escalares:
[tex3]\boxed{f(p1+\lambda p2) = f(p1) + \lambda f (p_2)}[/tex3]
Onde:
[tex3]p_1 = a_1x^2+b_1x+c_1[/tex3]
[tex3]p_2 = a_2x^2+b_2x+c_2[/tex3]
Primeiro achamos o polinômio resultante que queremos aplicar a transformação.
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1x^2+b_1x +c_1) + \lambda(a_2x^2+b_2x+c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a_1x^2+ \lambda a_2x^2 + b_1x + \lambda b_2x +c_1 + \lambda c_2 [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1+\lambda a_2)x^2 + (b_1 +\lambda b_2)x + (c_1+\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a'x^2 + b'x + c'[/tex3]
Logo esperemos que:
[tex3]f(a'x^2+b'x + c')=(a'+b',c')[/tex3]
Então verificamos o lado direito do que queremos provar:
Logo:
[tex3]f(p1+\lambda p2) = (a_1+b_1,c_1) + (\lambda a_2+\lambda b_2,\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]f(a'x^2+b'x+c') = (a_1+\lambda a_2 + b_1+ \lambda b_2, c_1+\lambda c_2) = (a' +b', c')[/tex3]
Portanto [tex3]f[/tex3] é uma TL.
Para ser linear.
i) Verificamos a existência do elemento nulo.
Tomamos [tex3]a=b=c=0[/tex3]
Logo: [tex3]f(0) = (0+0,0) = (0,0) [/tex3] OK
ii) Sejam [tex3]p_1[/tex3] e [tex3]p_2[/tex3] elementos do domínio de [tex3]f[/tex3] e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] .
Verificamos se f é fechado pela soma e pela multiplicação por escalares:
[tex3]\boxed{f(p1+\lambda p2) = f(p1) + \lambda f (p_2)}[/tex3]
Onde:
[tex3]p_1 = a_1x^2+b_1x+c_1[/tex3]
[tex3]p_2 = a_2x^2+b_2x+c_2[/tex3]
Primeiro achamos o polinômio resultante que queremos aplicar a transformação.
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1x^2+b_1x +c_1) + \lambda(a_2x^2+b_2x+c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a_1x^2+ \lambda a_2x^2 + b_1x + \lambda b_2x +c_1 + \lambda c_2 [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = (a_1+\lambda a_2)x^2 + (b_1 +\lambda b_2)x + (c_1+\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]p_1 + \lambda p_2 = a'x^2 + b'x + c'[/tex3]
Logo esperemos que:
[tex3]f(a'x^2+b'x + c')=(a'+b',c')[/tex3]
Então verificamos o lado direito do que queremos provar:
Logo:
[tex3]f(p1+\lambda p2) = (a_1+b_1,c_1) + (\lambda a_2+\lambda b_2,\lambda c_2) [/tex3]
[tex3]f(a'x^2+b'x+c') = (a_1+\lambda a_2 + b_1+ \lambda b_2, c_1+\lambda c_2) = (a' +b', c')[/tex3]
Portanto [tex3]f[/tex3] é uma TL.
Editado pela última vez por lorramrj em 27 Fev 2018, 13:51, em um total de 2 vezes.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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lorramrj
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Fev 2018
27
13:52
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Me desculpe Ronny cometi alguns erros na segunda parte da resolução. Agora já corrigida!
Editado pela última vez por lorramrj em 27 Fev 2018, 13:52, em um total de 1 vez.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
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Ronny
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Fev 2018
27
17:18
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Normalmente, quando resolvo esse tipo de transformacao nao uso essa formulinha, minha duvida e: Essa forma de provar essa aplicacao linear e quando temos casos de polinomios? Normalmente os exercicios que acho sao tipo T(x,y)= (x+y, y), prove que e uma transformacao linear, mas quando vi dessa maneira, fiquei muito confuso, e saiu num teste meu 
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lorramrj
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Fev 2018
27
18:11
Re: Algebra Linear II - Transformacao Linear
Bom essa forma prova para qualquer espaço que você estiver trabalhando (seja polinômio, vetores, matrizes e etc...)
Se provamos que o elemento nulo do domínio é levado ao elemento nulo do contradomínio pela transformação e provamos que a transformação é fechada pela soma e multiplicação por um escalar, então provamos que se trata de uma Transformação Linear.
Nesse caso temos:
[tex3]T(x,y)= (x+y, y)[/tex3]
i) Existência do elemento neutro: tome [tex3]x=y=0[/tex3]
[tex3]T(0,0)=(0+0,0)=(0,0)...[/tex3] OK
ii) Seja [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] dos elementos do domínio de T e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] .
Tal que:
[tex3]\vec{v} =(x_1,y_1)[/tex3]
[tex3]\vec{u} =(x_2,y_2)[/tex3]
Queremos provar que: [tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
Temos:
[tex3]u+ \lambda v = (x_1,y_1)+ \lambda(x_2,y_2) = (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo queremos achar pela TL:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2) = (x_1+\lambda x_2 +y_1+\lambda y_2,\space y_1+\lambda y_2)=(x_1+y_1+\lambda(x_2+y_2),y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo desenvolvendo o lado direito da igualdade acima:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1+y_1,y_1) +\lambda(x_2+y_2,y_2)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1 + y_1 + \lambda(x_2+y_2), \space y_1 + \lambda y_2)[/tex3]
Portanto T é uma TL.
Se provamos que o elemento nulo do domínio é levado ao elemento nulo do contradomínio pela transformação e provamos que a transformação é fechada pela soma e multiplicação por um escalar, então provamos que se trata de uma Transformação Linear.
Nesse caso temos:
[tex3]T(x,y)= (x+y, y)[/tex3]
i) Existência do elemento neutro: tome [tex3]x=y=0[/tex3]
[tex3]T(0,0)=(0+0,0)=(0,0)...[/tex3] OK
ii) Seja [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] dos elementos do domínio de T e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] .
Tal que:
[tex3]\vec{v} =(x_1,y_1)[/tex3]
[tex3]\vec{u} =(x_2,y_2)[/tex3]
Queremos provar que: [tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
Temos:
[tex3]u+ \lambda v = (x_1,y_1)+ \lambda(x_2,y_2) = (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo queremos achar pela TL:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2) = (x_1+\lambda x_2 +y_1+\lambda y_2,\space y_1+\lambda y_2)=(x_1+y_1+\lambda(x_2+y_2),y_1+\lambda y_2)[/tex3]
Logo desenvolvendo o lado direito da igualdade acima:
[tex3]T(u+\lambda v)= T(u)+\lambda T(v)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1+y_1,y_1) +\lambda(x_2+y_2,y_2)[/tex3]
[tex3]T(u+\lambda v)= (x_1 + y_1 + \lambda(x_2+y_2), \space y_1 + \lambda y_2)[/tex3]
Portanto T é uma TL.
Editado pela última vez por lorramrj em 27 Fev 2018, 18:13, em um total de 2 vezes.
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O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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