Ensino SuperiorMáximo de uma função Tópico resolvido

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vzz
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Fev 2018 23 00:17

Máximo de uma função

Mensagem não lida por vzz »

Os pontos de máximo local de [tex3]f(x) = exp(-cos(3x)), x \in \mathbb{R} [/tex3]

Resposta:
Resposta

[tex3](2k + 1)*\pi /3, k \in\mathbb{R}[/tex3]
OBS: Gostaria de saber a solução usando cálculo. É evidente que para a função ser máxima, o cos(3x)=-1, mas não sei pq usando cálculo a resposta não está saindo.

Última edição: vzz (Sex 23 Fev, 2018 02:44). Total de 4 vezes.



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jvmago
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Fev 2018 23 08:24

Re: Máximo de uma função

Mensagem não lida por jvmago »

Oq seria "exp"?



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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IgorAM
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Fev 2018 24 15:01

Re: Máximo de uma função

Mensagem não lida por IgorAM »

Os pontos de máximo de uma função são dados pelos locais onde a derivada da função é 0. Então:

[tex3]f(x)=e^{-cos(3x)}[/tex3]
[tex3]f'(x)=3sen(3x).e^{-cos(3x)}[/tex3]
[tex3]0=3sen(3x).e^{-cos(3x)}[/tex3]

A função [tex3]f(x)=e^{-cos(3x)}[/tex3] por ser exponencial não pode zerar, então só resta a outra função:

[tex3]3sen(3x)=0[/tex3]
[tex3]sen(3x)=0[/tex3]

Função seno só zerá em 0 ou [tex3]\pi[/tex3]

[tex3]3x=0 \rightarrow x=0[/tex3]
ou
[tex3]3x=\pi \rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex3]

Observe que a derivada é zero em dois pontos, em um deles a função é mínima e no outro é máxima (no caso [tex3]x=\frac{\pi}{3} [/tex3] ).

[tex3]f(x)=e^{-cos(3x)}[/tex3]
[tex3]f \left (\frac{\pi}{3} \right)=e^{-cos(3\frac{\pi}{3})}[/tex3]
[tex3]f\left (\frac{\pi}{3} \right)=e^{-cos(\pi)}[/tex3]
[tex3]f\left (\frac{\pi}{3} \right)=e^{-(-1)}=e[/tex3]

Os pontos de máximo da função são: [tex3](2k+1)\frac{\pi}{3}[/tex3]
Última edição: IgorAM (Dom 25 Fev, 2018 10:25). Total de 1 vez.


Existirmos: a que será que se destina?

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nandoerich
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Ago 2018 17 01:13

Re: Máximo de uma função

Mensagem não lida por nandoerich »

A minha dúvida é como o autor da solução chegou ao valor de (2k+1)*pi/3,
o valor de máximo que ele achou foi 'e'. Como que ele achou a resposta que a questão pedia?

Desde ja obrigado!



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IgorAM
1 - Trainee
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Ago 2018 17 19:31

Re: Máximo de uma função

Mensagem não lida por IgorAM »

Observe que para que a função tenha ponto de máximo [tex3]cos(3x)[/tex3] deve valer -1, no ciclo trigonométrico o ângulo que leva a esse valor é [tex3]\pi[/tex3] , portanto temos:

[tex3]3x=\pi[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi}{3}[/tex3]

Mas nessa situação estamos analisando somente uma volta no ciclo trigonométrico, para uma resposta completa é necessária uma análise mais completa. Essa análise consiste em dizer que podemos dar quantas voltas forem necessárias no ciclo trigonométrico, desde sempre cheguemos a [tex3]\pi[/tex3] , de forma matemática podemos escrever isso assim:

[tex3]3x=2k\pi+\pi[/tex3]
[tex3]x=(2k+1)\frac{\pi}{3}[/tex3]



Existirmos: a que será que se destina?

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