Ensino Superior ⇒ Cálculo de Derivadas Tópico resolvido

[marcos5566]

Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L. Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima?

Preciso da resposta urgente, por favor me ajudem.

[lorramrj]

EDIT:

Temos o cilíndro:

cilindro.jpg (3.94 KiB) Exibido 1570 vezes

Volume do cilíndro é dado por: [tex3]V = A_{base} \cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h[/tex3]

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[tex3]V = A_{base} \cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h[/tex3]

Temos a restrição que: [tex3]V=1000L=1m^3\rightarrow \boxed{ h = \dfrac{1}{\pi\cdot r^2}} [/tex3]

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[tex3]V=1000L=1m^3\rightarrow \boxed{ h = \dfrac{1}{\pi\cdot r^2}} [/tex3]

Área total: [tex3]A_t = A_{lateral} + 2\cdot A_{base} \\= 2\cdot \pi\cdot r\cdot h + 2\cdot \pi\cdot r^2= 2\cdot \pi\cdot r\cdot \dfrac{1}{\pi\cdot r^2} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2}{r} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2+2\cdot \pi\cdot r^3}{r}[/tex3]

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[tex3]A_t = A_{lateral} + 2\cdot A_{base} \\= 2\cdot \pi\cdot r\cdot h + 2\cdot \pi\cdot r^2= 2\cdot \pi\cdot r\cdot \dfrac{1}{\pi\cdot r^2} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2}{r} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2+2\cdot \pi\cdot r^3}{r}[/tex3]

Temos uma função da área total dependendo do raio. Vamos minimizar essa função, derivando [tex3]A_t [/tex3]

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[tex3]A_t [/tex3]

em relação a r:

Regra do Quociente:
[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6\cdot \pi\cdot r^2)\cdot r - (2+2\cdot \pi\cdot r^3)\cdot (1)}{r^2} = \dfrac{6\pi r^3 - 2\pi r^3 - 2}{r^2} =\dfrac{4\pi r^3-2}{r^2} [/tex3]

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[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6\cdot \pi\cdot r^2)\cdot r - (2+2\cdot \pi\cdot r^3)\cdot (1)}{r^2} = \dfrac{6\pi r^3 - 2\pi r^3 - 2}{r^2} =\dfrac{4\pi r^3-2}{r^2} [/tex3]

Procurando o ponto crítico: [tex3]A'_t(r)=0[/tex3]

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[tex3]A'_t(r)=0[/tex3]

, como o denominador é sempre positivo e diferente de zero, pois [tex3]r>0[/tex3]

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[tex3]r>0[/tex3]

.
Estudamos o sinal do numerador:

[tex3]4\pi r^3-2= 0 \rightarrow \boxed {r = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m}[/tex3]

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[tex3]4\pi r^3-2= 0 \rightarrow \boxed {r = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m}[/tex3]

Logo, para [tex3]h\(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m\) = \dfrac{1}{\pi\cdot \[\(\dfrac{1}{2\pi}\)^{\dfrac{1}{3}}\]^2}= \dfrac{1}{\pi}\cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{\(\dfrac{1}{4\pi^2}\)}}\rightarrow \boxed {h=\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi} m} [/tex3]

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[tex3]h\(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m\) = \dfrac{1}{\pi\cdot \[\(\dfrac{1}{2\pi}\)^{\dfrac{1}{3}}\]^2}= \dfrac{1}{\pi}\cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{\(\dfrac{1}{4\pi^2}\)}}\rightarrow \boxed {h=\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi} m} [/tex3]

.

Testando:
[tex3]V = \pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot \( \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}\)^2\cdot \(\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi}\) =1,0m^3[/tex3]

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[tex3]V = \pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot \( \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}\)^2\cdot \(\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi}\) =1,0m^3[/tex3]

...OK

[jvmago]

O certo não seria [tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6.\pi.r^2).r - (2+2.\pi.r^3).(1)}{r^2}[/tex3]

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[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6.\pi.r^2).r - (2+2.\pi.r^3).(1)}{r^2}[/tex3]

?

[lorramrj]

O certo não seria [tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6.\pi.r^2).r - (2+2.\pi.r^3).(1)}{r^2}[/tex3]

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[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6.\pi.r^2).r - (2+2.\pi.r^3).(1)}{r^2}[/tex3]

?

Sim, passou batido valeu!

[jvmago]

Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

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[tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

[tex3]r\neq 0[/tex3]

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[tex3]r\neq 0[/tex3]

substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

[marcos5566]

Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

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[tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

[tex3]r\neq 0[/tex3]

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[tex3]r\neq 0[/tex3]

substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

Essa seria a resposta correta então????

[jvmago]

Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

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[tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

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[tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

[tex3]r\neq 0[/tex3]

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[tex3]r\neq 0[/tex3]

substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

Essa seria a resposta correta então????

Se eu não tiver me equivacado, sim

[marcos5566]

Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

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[tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]

[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]

calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3]

[tex3]r\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r\neq 0[/tex3]

substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]

Essa seria a resposta correta então????

Se eu não tiver me equivacado, sim

Beleza, Valeu !!!