Ensino SuperiorDerivada Tópico resolvido

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gerlanmatfis
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Fev 2018 21 17:58

Derivada

Mensagem não lida por gerlanmatfis »

Um biólogo modela o efeito da introdução de uma toxina em uma colônia de bactérias através da função.
[tex3]P(t)=\frac{t+1}{t^{2}+t+4}[/tex3]
onde P é a população da colonia (em milhões) t horas após a toxina ser introduzida.

a) Com que taxa a população está variando no momento em que a toxina é introduzida? A população está aumentando ou diminuindo nesta ocasião?

b) Em que instante a população começa a diminuir? De quanto a população aumenta antes começar a diminuir?

Não possuo Gabarito





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lorramrj
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Fev 2018 21 18:14

Re: Derivada

Mensagem não lida por lorramrj »

Derivando a função P(t) em relação a t (Regra do quociente):

[tex3]\dfrac{dP(t)}{dt} = P'(t)=\dfrac{(1)(t^2+t+4) - (t+1)(2t+1)}{(t^2+t+4)^2} = \dfrac{t^2+t+4 - 2t^2-3t-1}{(t^2+t+4)^2} = \dfrac{-t^2-2t+3}{(t^2+t+4)^2}[/tex3]

a) A toxina é introduzida em [tex3]t=0[/tex3] :
Logo:
[tex3]P'(0) = \dfrac{0+3}{(0+4)^2} = \dfrac{3}{16} > 0 [/tex3] . Portanto a polução está aumentando.


b) Estudando o sinal da derivada:
O denominador é sempre positivo e diferente de zero, então vamos analisar o numerador.

[tex3]-t^2-2t+3=0[/tex3] :: raízes: [tex3]t=-3[/tex3] (tempo negativo, descartado) ou [tex3]\boxed {t=1}[/tex3]

Portanto, a população começa a diminuir 1 hora depois da introdução da toxina.

[tex3]\Delta P = P(1)-P(0) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}[/tex3] milhões



Engenharia da Computação | PUC-RIO

O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]

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