Ensino Superior ⇒ Teorema de Rolle Tópico resolvido

[maths123]

Estude a aplicabilidade do teorema de Rolle à função: [tex3]f(x)=\(x-2\)^{\frac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\(x-2\)^{\frac{2}{3}}[/tex3]

, no intervalo [tex3][0,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0,4][/tex3]

.

[lorramrj]

Na verdade esse teorema não me lembro se tem a volta, mas afirma que:

Se uma função f definida em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), se f(a)=f(b) então existe algum ponto c em (a,b), onde a tangente ao gráfico de f é horizontal.

Por inspeção, comparamos f(0) e f(4):

[tex3]f(0) = -2^{\dfrac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0) = -2^{\dfrac{2}{3}}[/tex3]

[tex3]f(4) = 2^{\dfrac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(4) = 2^{\dfrac{2}{3}}[/tex3]

Como [tex3]f(0)\neq f(4) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)\neq f(4) [/tex3]

, então não podemos afirmar que existe um ponto onde [tex3]f'(c)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(c)=0[/tex3]

.

Podemos testar derivando a função e achando seu ponto crítico:

[tex3]f'(x) = \dfrac{2}{3}(x-2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{(x-2)^{1/3}} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x) = \dfrac{2}{3}(x-2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{(x-2)^{1/3}} = 0[/tex3]

. Não têm solução. Portanto, a aplicação do Teorema foi válida de imediato.