Ensino Superior

Sejam [tex3]f,\ g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] duas funções contínuas no ponto [tex3]x_0 \in[a,b][/tex3] . Usando [tex3]\epsilon[/tex3] e [tex3]\delta[/tex3] , mostre que [tex3]f \cdot g[/tex3] é contínua em [tex3]x_0[/tex3] .

GFerraz

Olá.

Dadas [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] contínuas, vale que:

[tex3]\forall\varepsilon_1>0~\exists~\delta_1>0: |x-x_0|<\delta_1 \Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon_1[/tex3] (i)

[tex3]\forall\varepsilon_2>0~\exists~\delta_2>0: |x-x_0|<\delta_2 \Rightarrow|g(x)-g(x_0)|<\varepsilon_2[/tex3] (ii)

Queremos mostrar que [tex3](f\cdot g)(x)[/tex3] também é contínua em [tex3]x_0[/tex3] . Isto é:

[tex3]\forall\varepsilon>0~\exists~\delta>0: |x-x_0|<\delta \Rightarrow|(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)|<\varepsilon[/tex3] (iii)

Somamos e subtraímos [tex3]f(x_0)g(x)[/tex3] no segundo membro de (iii):

[tex3]|f(x)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)| =|f(x_0)[g(x)-g(x_0)]+g(x)[f(x)-f(x_0)]|[/tex3]

Da desigualdade triangular:

[tex3]\leq |f(x_0)||g(x)-g(x_0)|+|g(x)||f(x)-f(x_0)|[/tex3] (iv)

Queremos fazer isso menor que [tex3]\varepsilon[/tex3] . Logo, se deixarmos cada parcela menor que [tex3]\frac{\varepsilon}{2}[/tex3] , obteremos sucesso.

Repare que: [tex3]|g(x)|\leq |g(x_0)|+1[/tex3] (v) para algum [tex3]\delta_3[/tex3] de diferença no eixo x.
Como o limite de [tex3]f[/tex3] também existe, então ele deverá satisfazer:

[tex3]|f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2(1+|g(x_0)|)}[/tex3] (vi)

Notou onde queremos chegar?

Isso é válido porque [tex3]\varepsilon[/tex3] é dado, então podemos manipulá-lo como quisermos.

De modo análogo, para algum [tex3]\delta_4[/tex3] : [tex3]|g(x)-g(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2(1+|f(x_0)|)}[/tex3] (vii)

Assim, teremos para [tex3]\delta = \min\{\delta_1,\delta_2, \delta_3,\delta_4\}[/tex3] , usando (v), (vi) e (vii) em (iv) :

[tex3]|f(x_0)||g(x)-g(x_0)|+|g(x)||f(x)-f(x_0)|<|f(x_0)|\frac{\varepsilon}{2(1+|f(x_0)|)}+|1+g(x_0)|\frac{\varepsilon}{(1+g(x_0))} \leq [/tex3]

[tex3]\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon[/tex3]

Isto completa nossa prova que [tex3]f\cdot g[/tex3] é contínua em [tex3]x_0\in[a,b][/tex3] . [tex3]\square[/tex3]

Ufa!

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