Ensino Superior ⇒ Limite/convergência Tópico resolvido
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Out 2019
23
23:52
Limite/convergência
Seja [tex3]f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]
e [tex3]c \in[a,b][/tex3]
. Mostre que [tex3]\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L[/tex3]
se, e somente se, para toda sequência [tex3]x_n[/tex3]
, tal que [tex3]a\leq x_n \leq b[/tex3]
, [tex3]x_n \neq c[/tex3]
[tex3]x_n\longrightarrow c[/tex3]
, tivermos [tex3]x_n\longrightarrow L[/tex3]
.
Última edição: maths123 (Sex 02 Fev, 2018 23:44). Total de 1 vez.
-
deOliveira 
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Fev 2020
06
14:53
Re: Limite/convergência
Creio que seja "tivermos [tex3]f(x_n)\rightarrow L[/tex3]
"
Esse é um caso particular do seguinte teorema:
Teorema: Sejam [tex3]f:X\rightarrow \mathbb R[/tex3] e [tex3]a\in X'[/tex3] .
[tex3]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex3] se, e somente se, para toda sequência de pontos [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] com [tex3]\lim x_n=a[/tex3] , tenha-se [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3]
Demonstração: [tex3](\Rightarrow)[/tex3] Suponhamos primeiro que [tex3]\lim _{x\to a} f(x)=L[/tex3] .
Seja [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] uma sequência de pontos tal que [tex3]\lim x_n=a[/tex3] .
Seja [tex3]\varepsilon >0[/tex3] fixado.
De [tex3]\lim _{x\to a} f(x)=L[/tex3] temos que existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que [tex3]x\in X[/tex3] , [tex3]0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon[/tex3] .
De [tex3]\lim x_n=a[/tex3] temos que existe [tex3]n_0\in\mathbb N[/tex3] tal que [tex3]n>n_0\implies 0<|x_n-a|<\delta[/tex3] , já que [tex3]x_n\ne a[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] .
Dessa forma, temos que [tex3]n>n_0\implies |f(x_n)-L|<\varepsilon[/tex3] , logo [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Suponhamos agora que [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] com [tex3]\lim x_n=a[/tex3] implique [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] e vamos provar que [tex3]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex3] .
Vamos supor por absurdo que [tex3]\lim_{x\to a}f(x)\ne L[/tex3] , ou seja, existe [tex3]\varepsilon>0[/tex3] tal que para todo [tex3]n\in \mathbb N[/tex3] podemos achar [tex3]x_n\in X[/tex3] tal que [tex3]0<|x_n-a|<\frac1n[/tex3] mas [tex3]|f(x_n)-L|\ge\varepsilon[/tex3] .
Então teríamos [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] , [tex3]\lim x_n=a[/tex3] sem que fosse [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] . E está contradição conclui a demonstração.
Espero ter ajudado
.
Esse é um caso particular do seguinte teorema:
Teorema: Sejam [tex3]f:X\rightarrow \mathbb R[/tex3] e [tex3]a\in X'[/tex3] .
[tex3]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex3] se, e somente se, para toda sequência de pontos [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] com [tex3]\lim x_n=a[/tex3] , tenha-se [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3]
Demonstração: [tex3](\Rightarrow)[/tex3] Suponhamos primeiro que [tex3]\lim _{x\to a} f(x)=L[/tex3] .
Seja [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] uma sequência de pontos tal que [tex3]\lim x_n=a[/tex3] .
Seja [tex3]\varepsilon >0[/tex3] fixado.
De [tex3]\lim _{x\to a} f(x)=L[/tex3] temos que existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que [tex3]x\in X[/tex3] , [tex3]0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon[/tex3] .
De [tex3]\lim x_n=a[/tex3] temos que existe [tex3]n_0\in\mathbb N[/tex3] tal que [tex3]n>n_0\implies 0<|x_n-a|<\delta[/tex3] , já que [tex3]x_n\ne a[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] .
Dessa forma, temos que [tex3]n>n_0\implies |f(x_n)-L|<\varepsilon[/tex3] , logo [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Suponhamos agora que [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] com [tex3]\lim x_n=a[/tex3] implique [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] e vamos provar que [tex3]\lim_{x\to a}f(x)=L[/tex3] .
Vamos supor por absurdo que [tex3]\lim_{x\to a}f(x)\ne L[/tex3] , ou seja, existe [tex3]\varepsilon>0[/tex3] tal que para todo [tex3]n\in \mathbb N[/tex3] podemos achar [tex3]x_n\in X[/tex3] tal que [tex3]0<|x_n-a|<\frac1n[/tex3] mas [tex3]|f(x_n)-L|\ge\varepsilon[/tex3] .
Então teríamos [tex3]x_n\in X-\{a\}[/tex3] , [tex3]\lim x_n=a[/tex3] sem que fosse [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] . E está contradição conclui a demonstração.
Espero ter ajudado
.Saudações.
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