Ensino Superior

Seja f definida em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] e seja p um real dado. Suponha que [tex3]\lim_{x \rightarrow p}[/tex3] [tex3]\frac{f(x) - f(p)}{x - p}[/tex3] = L. Calcule:

a) [tex3]\lim_{h \rightarrow 0}[/tex3] [tex3]\frac{f(p + h) - f(p)}{h}[/tex3]

b) [tex3]\lim_{h \rightarrow 0}[/tex3] [tex3]\frac{f(p + 3h) - f(p)}{h}[/tex3]

c) [tex3]\lim_{h \rightarrow 0}[/tex3] [tex3]\frac{f(p + h) - f(p -h)}{h}[/tex3]

d) [tex3]\lim_{h \rightarrow 0}[/tex3] [tex3]\frac{f(p - h) - f(p)}{h}[/tex3]

Seja [tex3]y=f(x)\to y+dy=f(x+dx)[/tex3] , com [tex3]\frac{dy}{dx}=f'(x)[/tex3] . Veja que ele só pediu para calcular, mas não sendo totalmente formal. Porém, se um professor de faculdade ver isso talvez ele tenha um ataque do coração kkkkk.

[tex3]y+dy=f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx[/tex3]

Portanto temos que [tex3]f'(p)=L[/tex3] , e vamos calcular o resto

a)

[tex3]\frac{f(p+dp)-f(p)}{dp}=\frac{dy}{dp}=f'(p)[/tex3]

b)

[tex3]\frac{f(p+3dp)-f(p)}{dp}=\frac{3dy}{dp}=3f'(p)[/tex3]

c)

[tex3]\frac{f(p+dp)-f(p-dp)}{dp}=\frac{f(p+dp)-f(p)}{dp}+\frac{f(p)-f(p-dp)}{dp}[/tex3]

No lado direito faça (sem perda de generalidade) [tex3]dp\to -dp[/tex3]

[tex3]\frac{f(p+dp)-f(p-dp)}{dp}=\frac{f(p+dp)-f(p)}{dp}+\frac{f(p+dp)-f(p)}{dp}=2f'(p)[/tex3]

d)

[tex3]\frac{f(p-dp)-f(p)}{dp}=-\frac{f(p+dp)-f(p)}{dp}=-f'(p)[/tex3]

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Limites - Guidorizzi vol.1

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