Ensino Superior ⇒ Sequência de Cauchy Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
21
17:54
Sequência de Cauchy
Mostre diretamente da definição que se [tex3](x_n)[/tex3]
e [tex3](y_n)[/tex3]
, são sequências de Cauchy, então [tex3](x_n+y_n)[/tex3]
e [tex3](x_n\cdot y_n)[/tex3]
são sequências de Cauchy.
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- Última visita: 31-12-69
Jan 2018
21
20:18
Re: Sequência de Cauchy
[tex3]\exists N_0 \in \mathbb N, m,n >N_0 \implies |x_m-x_n| < \frac \epsilon 2[/tex3]
[tex3]\exists M_0 \in \mathbb N, m,n >M_0 \implies |y_m-y_n| < \frac \epsilon 2[/tex3]
se [tex3]N \geq \max (N_0,M_0)[/tex3]
[tex3]|x_m + y_m - (y_{n} + x_n)| = |x_m - x_n + y_m -y_n| \leq |x_m - x_n| + |y_m - y_n| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon[/tex3]
quanto ao produto:
primeiro mostra-se que a sequência de Cauchy é limitada, a ideia é a mesma do outro exercício:
fixa um [tex3]\epsilon[/tex3] qualquer, tome [tex3]N_0[/tex3] associado a esse [tex3]\epsilon[/tex3] de forma que:
[tex3]|x_m - x_{N_0+1}| < \epsilon[/tex3] para todo [tex3]m \geq N_0[/tex3]
logo temos que infinitos termos da sequência estão limitados, pois: [tex3]x_{N_0+1} - \epsilon < x_m < x_{N_0+1} + \epsilon[/tex3] para todo [tex3]m \geq N_0[/tex3] então sobram um número finito de termos [tex3]x_1, x_2,x_3,...,x_{N_0}[/tex3] e obviamente, podemos escolher o termo de maior módulo dessa sequência finita e dizer que a sequência como um todo está limitada pelo maior valor entre o máximo desse módulo e de [tex3]x_{N_0+1}
+ \epsilon[/tex3] .
Portanto existe um número real [tex3]b \geq 0[/tex3] tal que [tex3]|x_n| \leq b[/tex3] e um [tex3]c[/tex3] tal que [tex3]|y_n| \leq c[/tex3]
depois você abre [tex3]|x_my_m - x_ny_n| = |x_my_m - x_my_n + x_my_n - x_ny_n| = |x_m||y_m-y_n| + |y_n||x_m-x_n| \leq b|y_m-y_n| + c|x_m-x_n|[/tex3]
então basta tomar [tex3]N_0[/tex3] associado à [tex3]|y_m-y_n| \leq \frac{\epsilon}{2b}[/tex3] e [tex3]M_0[/tex3] com [tex3]|x_m-x_n|<\frac{\epsilon}{2c}[/tex3] e tomar [tex3]N \geq \max (N_0,M_0)[/tex3]
[tex3]\exists M_0 \in \mathbb N, m,n >M_0 \implies |y_m-y_n| < \frac \epsilon 2[/tex3]
se [tex3]N \geq \max (N_0,M_0)[/tex3]
[tex3]|x_m + y_m - (y_{n} + x_n)| = |x_m - x_n + y_m -y_n| \leq |x_m - x_n| + |y_m - y_n| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon[/tex3]
quanto ao produto:
primeiro mostra-se que a sequência de Cauchy é limitada, a ideia é a mesma do outro exercício:
fixa um [tex3]\epsilon[/tex3] qualquer, tome [tex3]N_0[/tex3] associado a esse [tex3]\epsilon[/tex3] de forma que:
[tex3]|x_m - x_{N_0+1}| < \epsilon[/tex3] para todo [tex3]m \geq N_0[/tex3]
logo temos que infinitos termos da sequência estão limitados, pois: [tex3]x_{N_0+1} - \epsilon < x_m < x_{N_0+1} + \epsilon[/tex3] para todo [tex3]m \geq N_0[/tex3] então sobram um número finito de termos [tex3]x_1, x_2,x_3,...,x_{N_0}[/tex3] e obviamente, podemos escolher o termo de maior módulo dessa sequência finita e dizer que a sequência como um todo está limitada pelo maior valor entre o máximo desse módulo e de [tex3]x_{N_0+1}
+ \epsilon[/tex3] .
Portanto existe um número real [tex3]b \geq 0[/tex3] tal que [tex3]|x_n| \leq b[/tex3] e um [tex3]c[/tex3] tal que [tex3]|y_n| \leq c[/tex3]
depois você abre [tex3]|x_my_m - x_ny_n| = |x_my_m - x_my_n + x_my_n - x_ny_n| = |x_m||y_m-y_n| + |y_n||x_m-x_n| \leq b|y_m-y_n| + c|x_m-x_n|[/tex3]
então basta tomar [tex3]N_0[/tex3] associado à [tex3]|y_m-y_n| \leq \frac{\epsilon}{2b}[/tex3] e [tex3]M_0[/tex3] com [tex3]|x_m-x_n|<\frac{\epsilon}{2c}[/tex3] e tomar [tex3]N \geq \max (N_0,M_0)[/tex3]
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