Ensino Superior ⇒ Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1 Tópico resolvido

[Deleted User 19359]

Considere duas retas paralelas r e s. Sejam A e C dois pontos distintos de r e B um ponto de s. Imagem: https://prnt.sc/i2e5gr
Determine Q na reta s de modo que a soma das áreas dos triângulos APC e QPB seja mínima.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Vamos determinar a equação e minimizá-la para o caso desse triângulo.

Então vamos calcular a área nos termos dados, temos:

[tex3]APC=A_{1}=\frac{AC.h_{1}}{2}(área \ do \ triângulo \ 1)[/tex3]

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[tex3]APC=A_{1}=\frac{AC.h_{1}}{2}(área \ do \ triângulo \ 1)[/tex3]

e

[tex3]QPB=A_{2}=\frac{QB.h_{2}}{2}(área \ do \ triângulo \ 2)[/tex3]

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[tex3]QPB=A_{2}=\frac{QB.h_{2}}{2}(área \ do \ triângulo \ 2)[/tex3]

Onde [tex3]h_{1}[/tex3]

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[tex3]h_{1}[/tex3]

e [tex3]h_{2}[/tex3]

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[tex3]h_{2}[/tex3]

são as alturas e a distância entre as retas é uma distância "d" constante.

Perceba que os triângulos são semelhantes ( verifique! ), logo;

[tex3]\frac{AC}{h_{1}}=\frac{QB}{h_{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{AC}{h_{1}}=\frac{QB}{h_{2}}[/tex3]

[tex3]QB=\frac{AC.h_{2}}{h_{1}}[/tex3]

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[tex3]QB=\frac{AC.h_{2}}{h_{1}}[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]h_{1}+h_{2}=d[/tex3]

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[tex3]h_{1}+h_{2}=d[/tex3]

[tex3]h_{2}=d-h_{1}[/tex3]

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[tex3]h_{2}=d-h_{1}[/tex3]

Assim,

[tex3]A_{1}+A_{2}=\frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{QB.h_{2}}{2} = \frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{AC.h_{2}.h_{2}}{2.h_{1}} =\frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{AC.(d-h_{1})^2}{2.h_{1}}[/tex3]

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[tex3]A_{1}+A_{2}=\frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{QB.h_{2}}{2} = \frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{AC.h_{2}.h_{2}}{2.h_{1}} =\frac{AC.h_{1}}{2}+\frac{AC.(d-h_{1})^2}{2.h_{1}}[/tex3]

[tex3]A_{1}+A_{2}=\frac{AC}{2}.\left(2h_{1}+\frac{d^2}{h_{1}}-2d\right)[/tex3]

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[tex3]A_{1}+A_{2}=\frac{AC}{2}.\left(2h_{1}+\frac{d^2}{h_{1}}-2d\right)[/tex3]

Para minimizar basta derivar e igualar a zero, vem;


[tex3]\frac{d(A_{1}+A_{2})}{dh_{1}}=\frac{dAC}{2}.\left(2h_{1}+\frac{d^2}{h_{1}}-2d\right)=0[/tex3]

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[tex3]\frac{d(A_{1}+A_{2})}{dh_{1}}=\frac{dAC}{2}.\left(2h_{1}+\frac{d^2}{h_{1}}-2d\right)=0[/tex3]

Derivando...

[tex3]\frac{AC}{2}.\left(2-\frac{d^2}{h_{1}^2}\right)=0[/tex3]

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[tex3]\frac{AC}{2}.\left(2-\frac{d^2}{h_{1}^2}\right)=0[/tex3]

Ou seja,

[tex3]h_{1}=\frac{d}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]h_{1}=\frac{d}{\sqrt{2}}[/tex3]

Portanto, como temos [tex3]h_{1}[/tex3]

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[tex3]h_{1}[/tex3]

, você irá encontrar facilmente o [tex3]h_{2}[/tex3]

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[tex3]h_{2}[/tex3]

e depois encontrar a distância QB e consequentemente determinar Q, esses valores a serem determinados ficará como exercício para você



Bons estudos!