Seja [tex3](x_n)[/tex3]
[tex3]x_1=\sqrt{2}[/tex3]
e
[tex3]x_{n+1}=\sqrt{2x_n}[/tex3]
Mostrar que [tex3](x_n)[/tex3]
é crescente, limitada e que seu limite é [tex3]2[/tex3]
.
, uma sequência com [tex3]x_n > 0[/tex3]
, definida como Ensino Superior ⇒ Sequência definida por Recorrência Tópico resolvido
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Jan 2018
18
00:56
Re: Sequência definida por Recorrência
prova-se por PIF que pra todo [tex3]n \geq 1[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] isso obviamente é verdade já que [tex3]\sqrt 2 \leq 2[/tex3]
suponha que [tex3]x_n \leq 2[/tex3] funciona para um [tex3]n[/tex3] qualquer então:
[tex3]\sqrt{x_n} \leq \sqrt2[/tex3] e então [tex3]\sqrt{2x_n} \leq \sqrt 2 \sqrt 2 = 2[/tex3]
mas [tex3]\sqrt{2x_n} = x_{n+1}[/tex3] logo [tex3]x_n \leq 2 \implies x_{n+1} \leq 2[/tex3] . Logo está provado por indução que [tex3]x_n \leq 2[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] .
para ver que [tex3]x_n[/tex3] é crescente: [tex3]\frac {x_{n+1}}{x_n} = \frac {\sqrt2}{ \sqrt{x_n}} \geq 1[/tex3] já que [tex3]x_n \leq 2[/tex3]
logo a sequência [tex3]x_n[/tex3] converge para o seu supremo. Seja [tex3]S = \lim _{n \rightarrow \infty} x_n[/tex3] (provamos que ele existe)
aplicando [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}[/tex3] dos dois lados de [tex3]x_{n+1} = \sqrt{2x_n}[/tex3] :
[tex3]S = \sqrt{2S}\iff S = 2[/tex3] ou [tex3]S=0[/tex3] , mas [tex3]S=0[/tex3] não faz sentido já que [tex3]0[/tex3] não pode ser supremo de uma sequência que contém [tex3]x_1 = \sqrt 2[/tex3] . Logo a sequência converge para [tex3]2[/tex3]
[tex3]x_n \leq 2[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] isso obviamente é verdade já que [tex3]\sqrt 2 \leq 2[/tex3]
suponha que [tex3]x_n \leq 2[/tex3] funciona para um [tex3]n[/tex3] qualquer então:
[tex3]\sqrt{x_n} \leq \sqrt2[/tex3] e então [tex3]\sqrt{2x_n} \leq \sqrt 2 \sqrt 2 = 2[/tex3]
mas [tex3]\sqrt{2x_n} = x_{n+1}[/tex3] logo [tex3]x_n \leq 2 \implies x_{n+1} \leq 2[/tex3] . Logo está provado por indução que [tex3]x_n \leq 2[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] .
para ver que [tex3]x_n[/tex3] é crescente: [tex3]\frac {x_{n+1}}{x_n} = \frac {\sqrt2}{ \sqrt{x_n}} \geq 1[/tex3] já que [tex3]x_n \leq 2[/tex3]
logo a sequência [tex3]x_n[/tex3] converge para o seu supremo. Seja [tex3]S = \lim _{n \rightarrow \infty} x_n[/tex3] (provamos que ele existe)
aplicando [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}[/tex3] dos dois lados de [tex3]x_{n+1} = \sqrt{2x_n}[/tex3] :
[tex3]S = \sqrt{2S}\iff S = 2[/tex3] ou [tex3]S=0[/tex3] , mas [tex3]S=0[/tex3] não faz sentido já que [tex3]0[/tex3] não pode ser supremo de uma sequência que contém [tex3]x_1 = \sqrt 2[/tex3] . Logo a sequência converge para [tex3]2[/tex3]
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