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Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 14:35
por GehSillva7
Considere um paralelogramo ABCD, em que |AB + AD| = 7, |AB - AD|= 5 e tg = 2 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
. Qual é a área do paralelogramo?
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 14:57
por alevini98
Primeiro precisamos calcular [tex3]\sen\widehat{A}[/tex3]
.
[tex3]1+\cotg^2\widehat{A}=\sec^2\widehat{A}\\1+\frac{1}{(2+\sqrt3)^2}=\sec^2\widehat{A}\\7+4\sqrt3+1=\sec^2\widehat{A}(7+4\sqrt3)\\\sec^2\widehat{A}=\frac{8+4\sqrt3}{7+4\sqrt3}\\\sen^2\widehat{A}=\frac{(2+\sqrt3)(2+\sqrt3)}{4(2+\sqrt3)}\\\sen\widehat{A}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}AB+AD=7\\|AB-AD|=5\end{cases}[/tex3]
Veja que nesse caso tanto faz quem é o maior ou o menor.
[tex3]\begin{cases}AB=6\\AD=1\end{cases}[/tex3]
Visualize o paralelogramo como se fosse dois triângulos iguais.
[tex3]A=\frac{1}{2}\cdot1\cdot6\cdot\sen\widehat{A}+\frac{1}{2}\cdot1\cdot6\cdot\sen\widehat{A}\\A=6\sen\widehat{A}\\A=3\sqrt{2+\sqrt3}[/tex3]
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 15:28
por GehSillva7
no gabarito consta que a resposta é: 6(2 +\sqrt3)
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 17:43
por alevini98
Os dados da questão estão corretos? Ali é mesmo tangente ou seria um seno?
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 17:53
por GehSillva7
Sim, os dados estão corretos
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 18:52
por Ittalo25
Acho que isso é uma questão de vetores...
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 20:09
por PedroCosta
Eu estou bem enferrujado em vetores. Demorei pra sacar. Vou colocar as equações que encontrei:
*[tex3]|AB|^2 + |AD|^2 + 2|AB|\cdot |AD|\cdot cos \theta = 49 \\
|AB|^2 + |AD|^2 - 2|AB|\cdot |AD|\cdot cos \theta = 25[/tex3]
Aqui o seu interesse é encontrar o produto [tex3]|AB|\cdot |AD|\cdot cos \theta[/tex3]
. Pois, a área de um paralelogramo é definida da seguinte maneira:
[tex3]A_p = B\cdot h[/tex3]
Se você desenhar um ângulo [tex3]\theta[/tex3]
e considerar que está lidando com vetores, a altura e toda expressão da área pode ser reescrita como:
[tex3]A_p = |AD|\cdot |AB|\cdot sen\theta[/tex3]
Por isso, você tem que encontrar o produto [tex3]|AB|\cdot |AD|[/tex3]
que está ligado ao cosseno. O que não é um problema, pois é bem simples de trabalhar.
Das equações de cima, você chega em [tex3]|AB|\cdot|AD|\cdot cos \theta = 6[/tex3]
. Substituindo pelo valor do cosseno que é encontrado usando relações parecidas com o do alevino98:
[tex3]|AB|\cdot |AD| \cdot cos\theta = 6 \rightarrow |AB|\cdot |AD| \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} = 6 \rightarrow |AB|\cdot|AD| = 12\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex3]
Achamos o produto, vamos então achar a área do paralelogramo:
[tex3]A_p = |AD|\cdot |AB|\cdot sen\theta \\
A_p =12\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} = 6\cdot(2+\sqrt{3})\\
\boxed{A_p = 6\cdot(2+\sqrt{3})}[/tex3]
*Na primeira equação, você está procurando o vetor resultante da soma de AB com AD. Na segunda equação, você está buscando o vetor resultante da soma AB com -AD. Aqui basta fazer [tex3]cos(\pi - \theta) = -cos\theta[/tex3]
.
Re: Área do paralelogramo
Enviado: Seg 15 Jan, 2018 20:37
por alevini98
Realmente não esperava que a questão tivesse algo com vetores, não cheguei a estudar esse conteúdo.