Ensino Superior ⇒ Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1 Tópico resolvido

[Deleted User 19359]

Mostre que, para todo x > 0, tem-se:

a) [tex3]\sen x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen x[/tex3]

< x - [tex3]\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}[/tex3]

b) 0 < [tex3]\sen x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen x[/tex3]

- [x - [tex3]\frac{x^{3}}{3!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{3}}{3!}[/tex3]

] < [tex3]\frac{x^{5}}{5!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{5}}{5!}[/tex3]

[LucasPinafi]

Veja que a) implica b). Então,basta fazer a a).
Vamos expandir a função seno em séries levando em conta a série de Taylor:
[tex3]f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty } \frac{f^{(n)} (0) }{n!}x^n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty } \frac{f^{(n)} (0) }{n!}x^n [/tex3]

Tomemos f(x) = sen (x) e vamos tomar os primeiros dessa série:
[tex3]\sen x = \sen 0 + \frac{(\sen x )'_{x=0}}{ 1} x + \frac{(\sen x)''_{x=0}}{2}x^2 + \frac{(\sen x)'''_{x=0} }{3!}x^3 + \frac{(\sen x)^{(iv)}_{x=0} }{4!}x^4 + \frac{(\sen x)^{(v)} _{x=0}}{5!}x^5 + \cdots \\ \bullet \sen 0 = 0 \\ \bullet (\sen x)'_{x=0} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \bullet (\sen x)''_{x=0} = (- \sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)'''_{x=0} =(-\cos x)_{x=0} = -1 \\ \bullet (\sen x)^{(iv)}_{x=0} = (\sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)_{x=0}^{(v)} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \therefore \sen x = 0 + x + 0 - \frac{1}{3}x^3 + 0 + \frac{1}{5}x^5 +\cdots \\ a) \sen x = x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 +\cdots \Longrightarrow \sen x < x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen x = \sen 0 + \frac{(\sen x )'_{x=0}}{ 1} x + \frac{(\sen x)''_{x=0}}{2}x^2 + \frac{(\sen x)'''_{x=0} }{3!}x^3 + \frac{(\sen x)^{(iv)}_{x=0} }{4!}x^4 + \frac{(\sen x)^{(v)} _{x=0}}{5!}x^5 + \cdots \\ \bullet \sen 0 = 0 \\ \bullet (\sen x)'_{x=0} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \bullet (\sen x)''_{x=0} = (- \sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)'''_{x=0} =(-\cos x)_{x=0} = -1 \\ \bullet (\sen x)^{(iv)}_{x=0} = (\sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)_{x=0}^{(v)} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \therefore \sen x = 0 + x + 0 - \frac{1}{3}x^3 + 0 + \frac{1}{5}x^5 +\cdots \\ a) \sen x = x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 +\cdots \Longrightarrow \sen x < x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 [/tex3]