Ensino SuperiorEstudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1 Tópico resolvido

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Autor do Tópico
Deleted User 19359
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Jan 2018 13 21:41

Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1

Mensagem não lida por Deleted User 19359 »

Mostre que, para todo x > 0, tem-se:

a) [tex3]\sen x[/tex3] < x - [tex3]\frac{x^{3}}{3!}[/tex3] + [tex3]\frac{x^{5}}{5!}[/tex3]

b) 0 < [tex3]\sen x[/tex3] - [x - [tex3]\frac{x^{3}}{3!}[/tex3] ] < [tex3]\frac{x^{5}}{5!}[/tex3]




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LucasPinafi
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Jan 2018 15 13:17

Re: Estudo da Variação das Funções - Guidorizzi vol.1

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Veja que a) implica b). Então,basta fazer a a).
Vamos expandir a função seno em séries levando em conta a série de Taylor:
[tex3]f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty } \frac{f^{(n)} (0) }{n!}x^n [/tex3]
Tomemos f(x) = sen (x) e vamos tomar os primeiros dessa série:
[tex3]\sen x = \sen 0 + \frac{(\sen x )'_{x=0}}{ 1} x + \frac{(\sen x)''_{x=0}}{2}x^2 + \frac{(\sen x)'''_{x=0} }{3!}x^3 + \frac{(\sen x)^{(iv)}_{x=0} }{4!}x^4 + \frac{(\sen x)^{(v)} _{x=0}}{5!}x^5 + \cdots \\ \bullet \sen 0 = 0 \\ \bullet (\sen x)'_{x=0} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \bullet (\sen x)''_{x=0} = (- \sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)'''_{x=0} =(-\cos x)_{x=0} = -1 \\ \bullet (\sen x)^{(iv)}_{x=0} = (\sen x)_{x=0} = 0 \\ \bullet (\sen x)_{x=0}^{(v)} = (\cos x)_{x=0} = 1 \\ \therefore \sen x = 0 + x + 0 - \frac{1}{3}x^3 + 0 + \frac{1}{5}x^5 +\cdots \\ a) \sen x = x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 +\cdots \Longrightarrow \sen x < x - \frac 1 3 x^3 + \frac 1 5 x^5 [/tex3]



Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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