Ensino Superior ⇒ (Guidorizzi vol.1) Estudo da Variação das Funções Tópico resolvido

[Deleted User 19359]

Prove que a equação [tex3]x^{3} + x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3} + x^{2}[/tex3]

- 5x + 1 = 0 admite três raízes reais distintas. Localize tais raízes.

[LucasPinafi]

[tex3]P(x) = x^3 +x^2 -5x +1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x) = x^3 +x^2 -5x +1 [/tex3]

i) x = 0 => P(x) = 1
ii) x = 1 => P(x) = - 2

Assim, sabemos que há uma raiz entre (0, 1)

iii) x = 2 => P(x) = 8

Assim, sabemos que há uma raiz entre (1, 2)

iv) x = - 2 => P(x) = 7
v) x= - 3 => P(x) = - 2

Assim, há uma raiz entre (-3, -2)

Esse é o procedimento que tu deve tomar. O teorema usado é que se uma função f é contínua (veja que P(x) é uma função contínua, já que é polinomial), então se f(a) < 0 e f(b) > 0, com b > a, então deve haver c tal que a < c < b com f(c) = 0.

Usando métodos numéricos, encontramos que as raízes são

x = -2,86 (veja que está entre -3 e 2)
x = 0,21 (veja que está entre 0 e 1)
x = 1,65 (veja que está entre 1 e 2)

Tu mode melhorar esse método. Basta ir fazendo intervalos cada vez mais estreitos