Primeiro a definição de trabalho:
[tex3]T=\int Fds \cos\theta[/tex3]
Temos que descobrir quem é ds.
[tex3]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}dx\\
|F|=\sqrt{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4+x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4}\\
|F|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^4+6x^2y^2+y^4}[/tex3]
Teta é finalmente o ângulo entre F e ds.
Veja que se [tex3]\alpha[/tex3]
é o ângulo que [tex3]ds[/tex3]
faz com o eixo x do plano, então [tex3]\frac{dy}{dx}=\tan \alpha[/tex3]
Do mesmo modo, o ângulo [tex3]\beta[/tex3]
que [tex3]F[/tex3]
faz com o eixo x respeita a relação:
[tex3]\tan \beta=-\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}[/tex3]
A gente vai resolver as duas equações tendo em mente as condições, que são que ds aponta inicialmente na direção do primeiro quadrante assim como F aponta na direção do quarto quadrante.
Assim temos
[tex3]\alpha=\arctan\(\frac{dy}{dx}\)\\
\beta=-\arctan\[\(\frac{x-y}{x+y}\)^2\][/tex3]
O ângulo teta é dado por [tex3]\alpha-\beta[/tex3]
. Use a relação [tex3]\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\frac{x-y}{1+xy}[/tex3]
A partir é só substituir tudo na fórmula lá encima, integrando em relação à x de 0 até pi.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman