Ensino Superior ⇒ Campo Vectorial - Trabalho
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
09
22:37
Campo Vectorial - Trabalho
Determine o trabalho de uma forca definida por [tex3]F=(x+y)^{2}.i-(x-y)^{2}.j[/tex3]
ao longo de contorno, formado pelo arco de senocoide [tex3]y=senx[/tex3]
e pelo segmento do eixo [tex3]OX[/tex3]
entre [tex3]0[/tex3]
e [tex3]\pi[/tex3]
, no sentido positivo. Faca um esboco, para puder interpretar melhor para lhe ajudar.
-
Andre13000 
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Jan 2018
13
10:23
Re: Campo Vectorial - Trabalho
Primeiro a definição de trabalho:
[tex3]T=\int Fds \cos\theta[/tex3]
Temos que descobrir quem é ds.
[tex3]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}dx\\
|F|=\sqrt{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4+x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4}\\
|F|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^4+6x^2y^2+y^4}[/tex3]
Teta é finalmente o ângulo entre F e ds.
Veja que se [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo que [tex3]ds[/tex3] faz com o eixo x do plano, então [tex3]\frac{dy}{dx}=\tan \alpha[/tex3]
Do mesmo modo, o ângulo [tex3]\beta[/tex3] que [tex3]F[/tex3] faz com o eixo x respeita a relação:
[tex3]\tan \beta=-\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}[/tex3]
A gente vai resolver as duas equações tendo em mente as condições, que são que ds aponta inicialmente na direção do primeiro quadrante assim como F aponta na direção do quarto quadrante.
Assim temos
[tex3]\alpha=\arctan\(\frac{dy}{dx}\)\\
\beta=-\arctan\[\(\frac{x-y}{x+y}\)^2\][/tex3]
O ângulo teta é dado por [tex3]\alpha-\beta[/tex3] . Use a relação [tex3]\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\frac{x-y}{1+xy}[/tex3]
A partir é só substituir tudo na fórmula lá encima, integrando em relação à x de 0 até pi.
[tex3]T=\int Fds \cos\theta[/tex3]
Temos que descobrir quem é ds.
[tex3]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}dx\\
|F|=\sqrt{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4+x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4}\\
|F|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^4+6x^2y^2+y^4}[/tex3]
Teta é finalmente o ângulo entre F e ds.
Veja que se [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo que [tex3]ds[/tex3] faz com o eixo x do plano, então [tex3]\frac{dy}{dx}=\tan \alpha[/tex3]
Do mesmo modo, o ângulo [tex3]\beta[/tex3] que [tex3]F[/tex3] faz com o eixo x respeita a relação:
[tex3]\tan \beta=-\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}[/tex3]
A gente vai resolver as duas equações tendo em mente as condições, que são que ds aponta inicialmente na direção do primeiro quadrante assim como F aponta na direção do quarto quadrante.
Assim temos
[tex3]\alpha=\arctan\(\frac{dy}{dx}\)\\
\beta=-\arctan\[\(\frac{x-y}{x+y}\)^2\][/tex3]
O ângulo teta é dado por [tex3]\alpha-\beta[/tex3] . Use a relação [tex3]\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\frac{x-y}{1+xy}[/tex3]
A partir é só substituir tudo na fórmula lá encima, integrando em relação à x de 0 até pi.
Última edição: Andre13000 (Sáb 13 Jan, 2018 10:23). Total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Andre13000
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Jan 2018
13
10:39
Re: Campo Vectorial - Trabalho
Só algumas ressalvas sobre a teoria, pois eu fiz de um jeito muito trabalhoso. Em duas dimensões temos a fórmula geral:
[tex3]\int_\gamma \vec F\cdot \vec {ds}[/tex3]
Onde gamma é um certo caminho que a partícula toma. Para trabalhar em cima desta fórmula, utiliza-se parametrização:
[tex3]\vec F=a(x,y)i+b(x,y)j[/tex3]
Por questão de brevidade vou dispensar [tex3](x,y)[/tex3] em [tex3]a(x,y)[/tex3] , escrevendo somente [tex3]a[/tex3] .
[tex3]\vec F=ai+bj[/tex3]
Vamos considerar também que o caminho que a partícula toma, de [tex3]t=a[/tex3] até [tex3]t=b[/tex3] , pode ser parametramizado da seguinte forma:
[tex3]x=g(t)\\
y=h(t)[/tex3]
Temos que ds é dado da seguinte forma:
[tex3]\vec{ds}=idx+jdy=ig'(t)dt+jh'(t)dt\\
[/tex3]
Basta utilizar agora a fórmula lá encima e ver que:
[tex3]\int_\gamma \vec F\cdot \vec {ds}=\int_a^b \Big[ag'(t)+bh'(t)\Big]dt[/tex3]
Onde [tex3]a=a(x,y)=a(g(t),h(t))[/tex3] e similarmente para b.
Estive meio enferrujado nesse conteúdo então se eu tiver errado alguém fale.
[tex3]\int_\gamma \vec F\cdot \vec {ds}[/tex3]
Onde gamma é um certo caminho que a partícula toma. Para trabalhar em cima desta fórmula, utiliza-se parametrização:
[tex3]\vec F=a(x,y)i+b(x,y)j[/tex3]
Por questão de brevidade vou dispensar [tex3](x,y)[/tex3] em [tex3]a(x,y)[/tex3] , escrevendo somente [tex3]a[/tex3] .
[tex3]\vec F=ai+bj[/tex3]
Vamos considerar também que o caminho que a partícula toma, de [tex3]t=a[/tex3] até [tex3]t=b[/tex3] , pode ser parametramizado da seguinte forma:
[tex3]x=g(t)\\
y=h(t)[/tex3]
Temos que ds é dado da seguinte forma:
[tex3]\vec{ds}=idx+jdy=ig'(t)dt+jh'(t)dt\\
[/tex3]
Basta utilizar agora a fórmula lá encima e ver que:
[tex3]\int_\gamma \vec F\cdot \vec {ds}=\int_a^b \Big[ag'(t)+bh'(t)\Big]dt[/tex3]
Onde [tex3]a=a(x,y)=a(g(t),h(t))[/tex3] e similarmente para b.
Estive meio enferrujado nesse conteúdo então se eu tiver errado alguém fale.
Última edição: Andre13000 (Sáb 13 Jan, 2018 10:39). Total de 1 vez.
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