Ensino Superior ⇒ (EN)-Derivada e Sequencia Numérica Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Cada termo da sequencia de numeros reais e obtido pela expressao ([tex3]\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}[/tex3]

) com n [tex3]\in \mathbb{N}^{* }[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{N}^{* }[/tex3]

. Se f(x)=x.[tex3]\arcsen \frac{x}{6}[/tex3]

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[tex3]\arcsen \frac{x}{6}[/tex3]

e [tex3]S_{n}[/tex3]

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[tex3]S_{n}[/tex3]

é a soma dos n primeiros termos da sequencia dada , então [tex3]f^{´}(\frac{301}{100}.S_{300})[/tex3]

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[tex3]f^{´}(\frac{301}{100}.S_{300})[/tex3]

vale.

R; [tex3]\frac{2\sqrt{3} + \pi }{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3} + \pi }{6}[/tex3]

[alevini98]

Calculando [tex3]S_{300}[/tex3]

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[tex3]S_{300}[/tex3]

[tex3]S_{300}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{297}-\frac
{1}{298}+\frac{1}{298}-\frac{1}{299}+\frac{1}{299}-\frac{1}{300}+\frac{1}{300}-\frac{1}{301}\\S_{300}=1-\frac{1}{301}\\S_{300}=\frac{300}{301}[/tex3]

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[tex3]S_{300}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{297}-\frac
{1}{298}+\frac{1}{298}-\frac{1}{299}+\frac{1}{299}-\frac{1}{300}+\frac{1}{300}-\frac{1}{301}\\S_{300}=1-\frac{1}{301}\\S_{300}=\frac{300}{301}[/tex3]

[tex3]f'\left(\frac{301}{100}\cdot\frac{300}{301}\right)\\f'(3)[/tex3]

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[tex3]f'\left(\frac{301}{100}\cdot\frac{300}{301}\right)\\f'(3)[/tex3]

Derivando [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

[tex3]f(x)=x\cdot\arcsen\frac{x}{6}\\f'(x)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\arcsen\frac{x}{6}+x\cdot\frac{d}{dx}\left(\arcsen\frac{x}{6}\right)\\f'(x)=\arcsen\frac{x}{6}+\frac{x}{6\sqrt{1-\left(\frac{x}{6}\right)^2}}\\f'(3)=\arcsen\frac{3}{6}+\frac{3}{6\sqrt{
1-\frac{1}{4}}}\\f'(3)=\frac{\pi}{6}+\frac{2\sqrt3}{6}\\f'(3)=\frac{2\sqrt3+\pi}{6}[/tex3]

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[tex3]f(x)=x\cdot\arcsen\frac{x}{6}\\f'(x)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\arcsen\frac{x}{6}+x\cdot\frac{d}{dx}\left(\arcsen\frac{x}{6}\right)\\f'(x)=\arcsen\frac{x}{6}+\frac{x}{6\sqrt{1-\left(\frac{x}{6}\right)^2}}\\f'(3)=\arcsen\frac{3}{6}+\frac{3}{6\sqrt{
1-\frac{1}{4}}}\\f'(3)=\frac{\pi}{6}+\frac{2\sqrt3}{6}\\f'(3)=\frac{2\sqrt3+\pi}{6}[/tex3]